FVR 111.56
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
précisément aux valeurs de la forme n = p/2, avec p entier impair) qui sert de
point de départ à Newton débutant ((XXII), p. 204-206)' l'amenant, d'abord
par l'étude du cas particulier (1 - x2)pI2, à la série du binôme, puis de là à
I'introduction de xa (ainsi noté) pour tout a réel, et à la différentiation de xa au
moyen de la série du binôme; tout cela sans grand effort pour obtenir des démonstrations ni même des définitions rigoureuses; de plus, innovation remarquable,
c'est de la connaissance de la dérivée de xa qu'il déduit jxa dx pour a # - 1
((XIX a) et (XXII), p. 225). Du reste, et bien qu'il ait été bientôt en possession
de méthodes beaucoup plus générales de développement en série de pissances,
telles la méthode dite du polygone de Newton (pour les fonctions algébriques)
((XXII), p. 221) et celle des coefficients indéterminés, il revient maintes fois par
la suite, avec une sorte de prédilection, à la série du binôme et à ses généralisations; et c'est de là, par exemple, qu'il semble avoir tiré le développement de
1 xa(l + x) "
d
x
dont il a été question plus haut ((XXII), p. 209).
L'évolution des idées sur le continent, cependant, est fort différente, et beaucoup plus abstraite. Pascal s'était rencontré avec Fermat dans l'étude des coefficients du binôme (dont il forme ce qu'il nomme le Q triangle arithmétique )>) et
leur emploi en calcul des probabilités et en calcul des différences; lorsqu'il aborde
l'intégration, il y introduit les mêmes idées. Comme ses prédécesseurs, quand il
emploie le langage des indivisibles, il conçoit l'intégrale F(x) = f
: f(x) dx
comme valeur du rapport de la <( somme de toutes les ordonnées de la courbe n
à l'a unité r N =
1 pour N = m ((XII b), p. 352-355) (ou, lorsqu'il
O < p < N
abandonne ce langage pour le langage correct par exhaustion, comme limite de
ce rapport pour N augmentant indéfiniment). Mais, ayant en vue des problèmes
de moments, il observe que, lorsqu'il s'agit de masses discrètes yi réparties à
intervalles équidistants, le calcul de la masse totale revient à l'opération Sy,
définie plus haut, et le calcul du moment à l'opération S2yn; et, par analogie, il
itère l'opération 1 pour former ce qu'il nomme les a sommes triangulaires des
ordonnées O, donc, dans notre langage, les limites des sommes N-2S2( f (n/N)),
c'est-à-dire les intégrales F,(x) = fz F(x) dx; une nouvelle itération lui donne les
<< sommes pyramidales F3(x) = 1 : F2(x) dx, limites de N-3S3( f (n/N)) ; le contexte marque d'ailleurs suffisamment que, s'il s'arrête là, ce n'est pas par défaut
de généralité dans sa pensée ni dans son langage, mais seulement parce qu'il ne
compte se servir que de celles-là, dont l'emploi systématique est à la base d'une
bonne partie de ses résultats, et dont il démontre aussitôt les propriétés que nous
écririons F2(x) = 1 ; (x - u) f (u) du, F3(x) = f (X - U) Y(u) du ((XII b),
p. 361-367); tout cela sans écrire une seule formule, mais dans un langage si
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
précisément aux valeurs de la forme n = p/2, avec p entier impair) qui sert de
point de départ à Newton débutant ((XXII), p. 204-206)' l'amenant, d'abord
par l'étude du cas particulier (1 - x2)pI2, à la série du binôme, puis de là à
I'introduction de xa (ainsi noté) pour tout a réel, et à la différentiation de xa au
moyen de la série du binôme; tout cela sans grand effort pour obtenir des démonstrations ni même des définitions rigoureuses; de plus, innovation remarquable,
c'est de la connaissance de la dérivée de xa qu'il déduit jxa dx pour a # - 1
((XIX a) et (XXII), p. 225). Du reste, et bien qu'il ait été bientôt en possession
de méthodes beaucoup plus générales de développement en série de pissances,
telles la méthode dite du polygone de Newton (pour les fonctions algébriques)
((XXII), p. 221) et celle des coefficients indéterminés, il revient maintes fois par
la suite, avec une sorte de prédilection, à la série du binôme et à ses généralisations; et c'est de là, par exemple, qu'il semble avoir tiré le développement de
1 xa(l + x) "
d
x
dont il a été question plus haut ((XXII), p. 209).
L'évolution des idées sur le continent, cependant, est fort différente, et beaucoup plus abstraite. Pascal s'était rencontré avec Fermat dans l'étude des coefficients du binôme (dont il forme ce qu'il nomme le Q triangle arithmétique )>) et
leur emploi en calcul des probabilités et en calcul des différences; lorsqu'il aborde
l'intégration, il y introduit les mêmes idées. Comme ses prédécesseurs, quand il
emploie le langage des indivisibles, il conçoit l'intégrale F(x) = f
: f(x) dx
comme valeur du rapport de la <( somme de toutes les ordonnées de la courbe n
à l'a unité r N =
1 pour N = m ((XII b), p. 352-355) (ou, lorsqu'il
O < p < N
abandonne ce langage pour le langage correct par exhaustion, comme limite de
ce rapport pour N augmentant indéfiniment). Mais, ayant en vue des problèmes
de moments, il observe que, lorsqu'il s'agit de masses discrètes yi réparties à
intervalles équidistants, le calcul de la masse totale revient à l'opération Sy,
définie plus haut, et le calcul du moment à l'opération S2yn; et, par analogie, il
itère l'opération 1 pour former ce qu'il nomme les a sommes triangulaires des
ordonnées O, donc, dans notre langage, les limites des sommes N-2S2( f (n/N)),
c'est-à-dire les intégrales F,(x) = fz F(x) dx; une nouvelle itération lui donne les
<< sommes pyramidales F3(x) = 1 : F2(x) dx, limites de N-3S3( f (n/N)) ; le contexte marque d'ailleurs suffisamment que, s'il s'arrête là, ce n'est pas par défaut
de généralité dans sa pensée ni dans son langage, mais seulement parce qu'il ne
compte se servir que de celles-là, dont l'emploi systématique est à la base d'une
bonne partie de ses résultats, et dont il démontre aussitôt les propriétés que nous
écririons F2(x) = 1 ; (x - u) f (u) du, F3(x) = f (X - U) Y(u) du ((XII b),
p. 361-367); tout cela sans écrire une seule formule, mais dans un langage si