NOTE HISTORIQUE
FVR 111.55
Mais ces questions ont aussi un aspect purement théorique et même arithmétique. Convenons de noter par Arx, les suites de différences successives d'une
suite (x,),,,,
définies par récurrence au moyen de Ax, = x,,, - x,,
et de noter par Sr l'opération inverse de A et ses itérées, en posant donc y, = Sx, si
n - r
y. = O, ~ y ,
= x,, et srxn = s(s'-lx,);
on a Srxn = p = o
B ( " ; ! ; ' ) ,
en
particulier, si x, = 1 pour tout n, on a Sx, = n, les suites S2x, et S3xn sont celles
des nombres <( triangulaires )) et c< pyramidaux v étudiés déjà par les arithméticiens
grecs, et on a en général Srx, =
pour n 2 r (et Srx, = O pour n < r); ces
i:)
suites s'étaient introduites, de ce point de vue, en tout cas dès le xvre siècle; elles
apparaissent d'elles-mêmes aussi dans les problèmes combinatoires, qui, soit par
eux-mêmes, soit à propos de probabilités, ont joué un assez grand rôle dans les
mathématiques du XVII" siècle, par exemple chez Fermat et Pascal, puis chez
Leibniz. Elles se présentent aussi dans l'expression de la somme des m-èmes puissances des N premiers entiers, dont le calcul, comme nous l'avons vu, est à la
base de l'intégration de lxm dx pour m entier, par la première méthode de Fermat ((XI), t. II, p. 83). C'est ainsi que procède aussi Wallis en 1655 dans son
Arithmetica Inznitorum (XV a) sans connaître les travaux (non publiés) de Fermat,
et sans connaître non plus, dit-il, la méthode des indivisibles autrement que par
la lecture de Torricelli; il est vrai que Wallis, pressé d'aboutir, ne s'attarde pas à
une recherche minutieuse: une fois le résultat atteint pour les premières valeurs
entières de m, il le pose vrai
l'originalité de son travail, c'est qu'il s'élève progressivement de là à l'étude de
l'intégrale eulérienne >> I(m, n) = JO (1 - xl'm)n dx (dont la valeur, pour m et
n > O est I'(m + l)I'(n + l)/I'(m + n + 1)) et autres semblables, dresse, pour m
et n entiers, le tableau des valeurs de l/I(m, n) qui n'e'st autre que celui des entiers
(m n), et, par des méthodes presque identiques à celles qu'on emploie
aujourd'hui pour exposer la théorie de la fonction I', aboutit au produit infini
pour I(3, 2) = 7cI4 =
il n'est pas difficile d'ailleurs de rendre sa
méthode correcte au moyen d'intégrations par parties et de changements de
variables très simples, et de la considération de I(m, n) pour toutes les valeurs
réelles de m et n, ce à quoi il ne pouvait guère songer, mais que l'analyse
newtonienne allait bientôt rendre possible. C'est en tout cas l' cc interpolation )>
cffectuke par Wallis des entiers
+
à des valeurs non entières de rn (plus
( n )
FVR 111.55
Mais ces questions ont aussi un aspect purement théorique et même arithmétique. Convenons de noter par Arx, les suites de différences successives d'une
suite (x,),,,,
définies par récurrence au moyen de Ax, = x,,, - x,,
et de noter par Sr l'opération inverse de A et ses itérées, en posant donc y, = Sx, si
n - r
y. = O, ~ y ,
= x,, et srxn = s(s'-lx,);
on a Srxn = p = o
B ( " ; ! ; ' ) ,
en
particulier, si x, = 1 pour tout n, on a Sx, = n, les suites S2x, et S3xn sont celles
des nombres <( triangulaires )) et c< pyramidaux v étudiés déjà par les arithméticiens
grecs, et on a en général Srx, =
pour n 2 r (et Srx, = O pour n < r); ces
i:)
suites s'étaient introduites, de ce point de vue, en tout cas dès le xvre siècle; elles
apparaissent d'elles-mêmes aussi dans les problèmes combinatoires, qui, soit par
eux-mêmes, soit à propos de probabilités, ont joué un assez grand rôle dans les
mathématiques du XVII" siècle, par exemple chez Fermat et Pascal, puis chez
Leibniz. Elles se présentent aussi dans l'expression de la somme des m-èmes puissances des N premiers entiers, dont le calcul, comme nous l'avons vu, est à la
base de l'intégration de lxm dx pour m entier, par la première méthode de Fermat ((XI), t. II, p. 83). C'est ainsi que procède aussi Wallis en 1655 dans son
Arithmetica Inznitorum (XV a) sans connaître les travaux (non publiés) de Fermat,
et sans connaître non plus, dit-il, la méthode des indivisibles autrement que par
la lecture de Torricelli; il est vrai que Wallis, pressé d'aboutir, ne s'attarde pas à
une recherche minutieuse: une fois le résultat atteint pour les premières valeurs
entières de m, il le pose vrai
l'originalité de son travail, c'est qu'il s'élève progressivement de là à l'étude de
l'intégrale eulérienne >> I(m, n) = JO (1 - xl'm)n dx (dont la valeur, pour m et
n > O est I'(m + l)I'(n + l)/I'(m + n + 1)) et autres semblables, dresse, pour m
et n entiers, le tableau des valeurs de l/I(m, n) qui n'e'st autre que celui des entiers
(m n), et, par des méthodes presque identiques à celles qu'on emploie
aujourd'hui pour exposer la théorie de la fonction I', aboutit au produit infini
pour I(3, 2) = 7cI4 =
il n'est pas difficile d'ailleurs de rendre sa
méthode correcte au moyen d'intégrations par parties et de changements de
variables très simples, et de la considération de I(m, n) pour toutes les valeurs
réelles de m et n, ce à quoi il ne pouvait guère songer, mais que l'analyse
newtonienne allait bientôt rendre possible. C'est en tout cas l' cc interpolation )>
cffectuke par Wallis des entiers
+
à des valeurs non entières de rn (plus
( n )