FVR 111.54
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
L'un des premiers problèmes, dans l'usage et même la confection des tables,
est celui de l'interpolation; et, à mesure que s'accroit la précision des calculs, on
s'aperçoit au X V I I ~ siècle que l'antique procédé de l'interpolation linéaire perd sa
validité dès que les différences premières (différences entre les valeurs successives
figurant dans la table) cessent d'être sensiblement constantes; aussi voit-on Briggs
par exemple1 faire usage de difîérences d'ordre supérieur, et même d'ordre assez
élevé, dans le calcul des logarithmes. Plus tard, nous voyons Newton ((XIX d) et
(XX), livre III, lemme 5) et J. Gregory ((XVII bis), p. 119-120), chacun de
son côté, poursuivre parallklement des recherches sur l'interpolation et sur les
séries de puissances; l'un et I'autre aboutit, par des méthodes d'ailleurs différentes,
d'une part à la formule d'interpolation par polynômes, dite G de Newton D, et de
l'autre à la série du binôme ((XVII bis), p. 131; (XXII), p. 180) et aux principaux développements en séries de puissances de l'analyse classique ((XVII bis) ;
(XIX a et d) et (XXII), p. 179-192 et 203-225); il n'est guère douteux que ces
deux ordres de recherches n'aient réagi l'un sur l'autre, et n'aient été intimement
liés aussi dans l'esprit de Newton à la découverte des principes du calcul infinitesimal. Chez Gregory comme chez Newton se fait jour un grand souci de la pratique numérique, de la construction et de l'usage des tables, du calcul numérique
des séries et des intégrales; en particulier, bien qu'on ne trouve chez eux aucune
démonstration soignée de convergence, dans le genre de celle de Lord Brouncker
citée plus haut, tous deux font constamment mcntion de la convergence de leurs
séries du point de vue pratique de leur aptitude au calcul. C'est ainsi encore que
nous voyons Newton, en réponse à une question posée par Collins pour des fins
N
1
pratiques3, appliquer au calcul approché de 2 -, pour de grandes valeurs
in -t. p
de N, la méthode de sommation dite d'Euler-Maclaurin.
On recontre aussi de bonne heure le calcul des valeurs d'une fonction à partir
de leurs différences, employé comme procédé pratique d'intégration, et même,
peut-on dire, d'intégration d'équation différentielle. Ainsi Wright, en 1599, ayant
à résoudre en vue de tables nautiques un problème que nous noterions
dx -
1
dt
- sec t = -Y
cos t
procède par addition des valeurs de sec t, par intervalles successifs d'une seconde
d'arc4, obtenant naturellement à peu de chose près une table des valeurs de
log tg (n/4 + t/2); et cette coïncidcncc, observée dès le calcul des premières
tables de log tg t, demeura inexpliqués jusqu'à l'intégration de sec t par Gregory
en 1668 ((XVJI c) et (XVII bis) p. 7 et 463).
1 EI. BRIGGS, Aritlzmetica lo,narithmica, London, 1624, chap. XIII.
2 Voir aussi D. C. FRASER, Newton's Interpolation Formulas, Joutn. Insl. Actuaries, t. 51 (1919),
p. 77-106 et p. 21 1-232, ct t .59 (1927), p. 53-95 (articles réimprimés en plaqueite, London (sans
date)).
Cf. ST. P. RIGAUD, Corresjondence of scientiJic men... Oxford, 1841, t. II, p. 309-310.
ED. WRIGIIT, Table of Latitudes, 1599 (cf. Nufier Mernorial Volurne, 1914, p. 97).
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
L'un des premiers problèmes, dans l'usage et même la confection des tables,
est celui de l'interpolation; et, à mesure que s'accroit la précision des calculs, on
s'aperçoit au X V I I ~ siècle que l'antique procédé de l'interpolation linéaire perd sa
validité dès que les différences premières (différences entre les valeurs successives
figurant dans la table) cessent d'être sensiblement constantes; aussi voit-on Briggs
par exemple1 faire usage de difîérences d'ordre supérieur, et même d'ordre assez
élevé, dans le calcul des logarithmes. Plus tard, nous voyons Newton ((XIX d) et
(XX), livre III, lemme 5) et J. Gregory ((XVII bis), p. 119-120), chacun de
son côté, poursuivre parallklement des recherches sur l'interpolation et sur les
séries de puissances; l'un et I'autre aboutit, par des méthodes d'ailleurs différentes,
d'une part à la formule d'interpolation par polynômes, dite G de Newton D, et de
l'autre à la série du binôme ((XVII bis), p. 131; (XXII), p. 180) et aux principaux développements en séries de puissances de l'analyse classique ((XVII bis) ;
(XIX a et d) et (XXII), p. 179-192 et 203-225); il n'est guère douteux que ces
deux ordres de recherches n'aient réagi l'un sur l'autre, et n'aient été intimement
liés aussi dans l'esprit de Newton à la découverte des principes du calcul infinitesimal. Chez Gregory comme chez Newton se fait jour un grand souci de la pratique numérique, de la construction et de l'usage des tables, du calcul numérique
des séries et des intégrales; en particulier, bien qu'on ne trouve chez eux aucune
démonstration soignée de convergence, dans le genre de celle de Lord Brouncker
citée plus haut, tous deux font constamment mcntion de la convergence de leurs
séries du point de vue pratique de leur aptitude au calcul. C'est ainsi encore que
nous voyons Newton, en réponse à une question posée par Collins pour des fins
N
1
pratiques3, appliquer au calcul approché de 2 -, pour de grandes valeurs
in -t. p
de N, la méthode de sommation dite d'Euler-Maclaurin.
On recontre aussi de bonne heure le calcul des valeurs d'une fonction à partir
de leurs différences, employé comme procédé pratique d'intégration, et même,
peut-on dire, d'intégration d'équation différentielle. Ainsi Wright, en 1599, ayant
à résoudre en vue de tables nautiques un problème que nous noterions
dx -
1
dt
- sec t = -Y
cos t
procède par addition des valeurs de sec t, par intervalles successifs d'une seconde
d'arc4, obtenant naturellement à peu de chose près une table des valeurs de
log tg (n/4 + t/2); et cette coïncidcncc, observée dès le calcul des premières
tables de log tg t, demeura inexpliqués jusqu'à l'intégration de sec t par Gregory
en 1668 ((XVJI c) et (XVII bis) p. 7 et 463).
1 EI. BRIGGS, Aritlzmetica lo,narithmica, London, 1624, chap. XIII.
2 Voir aussi D. C. FRASER, Newton's Interpolation Formulas, Joutn. Insl. Actuaries, t. 51 (1919),
p. 77-106 et p. 21 1-232, ct t .59 (1927), p. 53-95 (articles réimprimés en plaqueite, London (sans
date)).
Cf. ST. P. RIGAUD, Corresjondence of scientiJic men... Oxford, 1841, t. II, p. 309-310.
ED. WRIGIIT, Table of Latitudes, 1599 (cf. Nufier Mernorial Volurne, 1914, p. 97).