NOTE HISTORIQUE
F' VR 111.53
Leibniz à partir de 1673 environ, se consacrent principalement au sujet d'actualité, l'étude des séries de puissances. Mais, du point de vue de la classiiication
des problèmes, le principal effet des nouvelles méthodes semble être d'oblitérer
entre eux toute distinction; et en effet Newton, plus analyste qu'algébriste, n'hésite pas à annoncer à Leibniz en 1676 ((XXII), p. 224) qu'il sait résoudre toutes
les équations différentielles1; à quoi Leibniz répond ((XXII), p. 248-249) qu'il
s'agit au contraire d'obtenir la solution en termes finis chaque fois qu'il se peut
{( en supposant les quadratures r) , et aussi de savoir si toute quadrature peut se
ramener à celles du cercle et de l'hyperbole comme cela a été constaté dans la
plupart des cas déjà étudiés; il rappelle à ce propos que Gregory croyait (avec
raison, nous le savons aujourd'hui) la rectification de l'ellipse et de l'hyperbole
irréductibles aux quadratures du cercle et de l'hyperbole; et Leibniz demande
jusqu'à quel point la méthode des séries, telle que Newton l'emploie, peut donner
la réponse à ces q~iestions. Newton, de son côté ((XXII), p. 209-21 1)' se déclare
en possession de critères, qu'il n'indique pas, pour décider, apparemment par
l'examen des séries, de la O possibilité de certaines quadratures (en termes finis),
et donne en exemple une série (fort intéressante) pour l'intégrale Jxa(l + x)D dx.
On voit l'immense progrès rCalisé en moins de dix ans: les questions de classification se posent déjà dans ces lettres en termes tout modernes; si l'une de celles
que soulève Leibniz a été résolue au xrxe siècle par la théorie des intégrales
abéliennes, l'autre, sur la possibilité de ramener aux quadratures une équation
différentielle donnée, est encore ouverte malgré d'importants travaux récents.
S'il en est ainsi, c'est que déjà Newton et Leibniz, chacun pour son propre
compte, ont réduit à un algorithme les opérations fondamentales du calcul
infinitésimal; il suffit d'écrire, dans les notations dont se sert l'un ou l'autre, un
problème de quadrature ou d'équation différentielle, pour que sa structure
algébrique apparaisse aussitôt, dégagée de sa gangue géométrique; les méthodes
de (( transmutation D aussi s'écrivent en termes analytiques simples; les problèmes
de classification se posent de façon précise. Mathématiquement parlant, le xme
siècle a pris fin.
E) Interpolation et calcul des dzférences. Ge thème (dont nous ne séparons pas
l'étude des coe$cients du bin6me) apparaît de bonne heure et se continue à travers
tout le siècle, pour des raisons à la fois théoriques et pratiques. L'une des grandes
tâches de l'époque est en effet le calcul des tables trigonométriques, logarithmiques, nautiques, rendues nécessaires par les rapides progrès de la géographie,
de la navigation, de l'astronomie théorique et pratique, de la physique, de la
mécanique céleste; et beaucoup de mathématiciens les plus éminents, de Képler
à Huygens et Newton, y participent, soit directement, soit par la recherche
théorique des procédés d'approximation les plus efficaces.
Au cours de cet échange de lettres, qui ne se fait pas directement entre les intéressés mais
officiellement par l'intermédiaire du secrétaire de la Royal Society, Newton a prend date a en énonçant sa méthode comme suit: 5accdae IOeffh 12i.. . rrrsssssttuu, anagramme où se trouve renfermée la
méthode de résolution par une série de puissances à coefficients indéterminés ((XXII), p. 224).
F' VR 111.53
Leibniz à partir de 1673 environ, se consacrent principalement au sujet d'actualité, l'étude des séries de puissances. Mais, du point de vue de la classiiication
des problèmes, le principal effet des nouvelles méthodes semble être d'oblitérer
entre eux toute distinction; et en effet Newton, plus analyste qu'algébriste, n'hésite pas à annoncer à Leibniz en 1676 ((XXII), p. 224) qu'il sait résoudre toutes
les équations différentielles1; à quoi Leibniz répond ((XXII), p. 248-249) qu'il
s'agit au contraire d'obtenir la solution en termes finis chaque fois qu'il se peut
{( en supposant les quadratures r) , et aussi de savoir si toute quadrature peut se
ramener à celles du cercle et de l'hyperbole comme cela a été constaté dans la
plupart des cas déjà étudiés; il rappelle à ce propos que Gregory croyait (avec
raison, nous le savons aujourd'hui) la rectification de l'ellipse et de l'hyperbole
irréductibles aux quadratures du cercle et de l'hyperbole; et Leibniz demande
jusqu'à quel point la méthode des séries, telle que Newton l'emploie, peut donner
la réponse à ces q~iestions. Newton, de son côté ((XXII), p. 209-21 1)' se déclare
en possession de critères, qu'il n'indique pas, pour décider, apparemment par
l'examen des séries, de la O possibilité de certaines quadratures (en termes finis),
et donne en exemple une série (fort intéressante) pour l'intégrale Jxa(l + x)D dx.
On voit l'immense progrès rCalisé en moins de dix ans: les questions de classification se posent déjà dans ces lettres en termes tout modernes; si l'une de celles
que soulève Leibniz a été résolue au xrxe siècle par la théorie des intégrales
abéliennes, l'autre, sur la possibilité de ramener aux quadratures une équation
différentielle donnée, est encore ouverte malgré d'importants travaux récents.
S'il en est ainsi, c'est que déjà Newton et Leibniz, chacun pour son propre
compte, ont réduit à un algorithme les opérations fondamentales du calcul
infinitésimal; il suffit d'écrire, dans les notations dont se sert l'un ou l'autre, un
problème de quadrature ou d'équation différentielle, pour que sa structure
algébrique apparaisse aussitôt, dégagée de sa gangue géométrique; les méthodes
de (( transmutation D aussi s'écrivent en termes analytiques simples; les problèmes
de classification se posent de façon précise. Mathématiquement parlant, le xme
siècle a pris fin.
E) Interpolation et calcul des dzférences. Ge thème (dont nous ne séparons pas
l'étude des coe$cients du bin6me) apparaît de bonne heure et se continue à travers
tout le siècle, pour des raisons à la fois théoriques et pratiques. L'une des grandes
tâches de l'époque est en effet le calcul des tables trigonométriques, logarithmiques, nautiques, rendues nécessaires par les rapides progrès de la géographie,
de la navigation, de l'astronomie théorique et pratique, de la physique, de la
mécanique céleste; et beaucoup de mathématiciens les plus éminents, de Képler
à Huygens et Newton, y participent, soit directement, soit par la recherche
théorique des procédés d'approximation les plus efficaces.
Au cours de cet échange de lettres, qui ne se fait pas directement entre les intéressés mais
officiellement par l'intermédiaire du secrétaire de la Royal Society, Newton a prend date a en énonçant sa méthode comme suit: 5accdae IOeffh 12i.. . rrrsssssttuu, anagramme où se trouve renfermée la
méthode de résolution par une série de puissances à coefficients indéterminés ((XXII), p. 224).