FVR 111.52
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
ainsi que nous trouvons chez Pascal (XII d) des résultats qui, en notation moderne, s'écrivent, en posant x = cos t, y = sin t, et pour des fonctions f(n)
particulières :
et, chez J. Gregory ((XVIH bis), p. 489), pour une courbe y = f (x) et son arc s,
f y d~ = 1 z dx, avec z = y2/1 + yr2. C'est seulement en 1669 que nous voyons
Barrow en possession du théorème général de changement de variables ((XVIII),
p. 298-299); son énoncé, géométrique comme toujours, revient à ce qui suit:
soient x et y reliés par une relation monotone, et soit p la pente du graphe
de cette relation au point (x, y); alors, si les fonctions f (x), g(y) sont telles
qu'on ait f (x)/g(y) = p pour tout couple de valeurs (x, y) correspondantes, les
aires Jf(x) dx, jg(y) dy, prises entre limites correspondantes, sont égales; et
réciproquement, si ces aires sont toujours égales (f et g étant implicitement supposées de signe constant), on a p = f (x)/g(y) ; la réciproque sert naturellement à
appliquer le théorème à la résolution d'équations différentielles (par G séparation
des variables D). Mais le théorème n'est inséré par Barrow que dans un appendice
(Lect. XII, app. III, theor. IV), où, en faisant observer que beaucoup de ses
résultats précédents n'en sont que des cas particuliers, il s'excuse de l'avoir
découvert trop tard pour en faire plus d'usage.
Donc, vers 1670, la situation est la suivante. On sait traiter, par des procédés
uniformes, les problèmes qui relèvent de la dérivée première, et Huygens a
abordé des questions géométriques qui relèvent de la dérivée seconde. O n sait
ramener tous les problèmes d'intégration aux quadratures; on est en possession
de techniques variées, d'aspect géométrique, pour ramener des quadratures les
unes aux autres, dans des cas mal classifiés, et on s'est habitué, de ce point de vue,
au maniement des fonctions circulaires et logarithmique; on a pris conscience
du lien entre différentiation et intégration; on a commencé à aborder la G méthode
inverse des tangentes w, nom donné à cette époque aux problèmes qui se ramènent aux équations différentielles du premier ordre. La découverte sensam
tionnelle de la série log (1 + x) = - (-x)"/n par Mercator vient d'ouvrir
des perspectives toutes nouvelles sur l'application des séries, et principalement
des séries de puissances, aux problèmes dits <( impossibles o. En revanche les rangs
des mathématiciens se sont singulièrement éclaircis: Barrow a quitté la chaire du
professeur pour celle du prédicateur; Huygens mis à part (qui a presque toute
son œuvre mathématique derrière lui, ayant obtenu déjà tous les principaux
résultats de 1'Horologium Oscillatorium qu'il se dispose à rédiger définitivement), ne
sont actifs que Newton à Cambridge, et J. Gregory isolé à Aberdeen, auxquels
Leibniz s'adjoindra bientôt avec une ardeur de néophyte. Tous trois, Newton à
partir de 1665 déjà, J. Gregory à partir de la publication de Mercator en 1668,
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
ainsi que nous trouvons chez Pascal (XII d) des résultats qui, en notation moderne, s'écrivent, en posant x = cos t, y = sin t, et pour des fonctions f(n)
particulières :
et, chez J. Gregory ((XVIH bis), p. 489), pour une courbe y = f (x) et son arc s,
f y d~ = 1 z dx, avec z = y2/1 + yr2. C'est seulement en 1669 que nous voyons
Barrow en possession du théorème général de changement de variables ((XVIII),
p. 298-299); son énoncé, géométrique comme toujours, revient à ce qui suit:
soient x et y reliés par une relation monotone, et soit p la pente du graphe
de cette relation au point (x, y); alors, si les fonctions f (x), g(y) sont telles
qu'on ait f (x)/g(y) = p pour tout couple de valeurs (x, y) correspondantes, les
aires Jf(x) dx, jg(y) dy, prises entre limites correspondantes, sont égales; et
réciproquement, si ces aires sont toujours égales (f et g étant implicitement supposées de signe constant), on a p = f (x)/g(y) ; la réciproque sert naturellement à
appliquer le théorème à la résolution d'équations différentielles (par G séparation
des variables D). Mais le théorème n'est inséré par Barrow que dans un appendice
(Lect. XII, app. III, theor. IV), où, en faisant observer que beaucoup de ses
résultats précédents n'en sont que des cas particuliers, il s'excuse de l'avoir
découvert trop tard pour en faire plus d'usage.
Donc, vers 1670, la situation est la suivante. On sait traiter, par des procédés
uniformes, les problèmes qui relèvent de la dérivée première, et Huygens a
abordé des questions géométriques qui relèvent de la dérivée seconde. O n sait
ramener tous les problèmes d'intégration aux quadratures; on est en possession
de techniques variées, d'aspect géométrique, pour ramener des quadratures les
unes aux autres, dans des cas mal classifiés, et on s'est habitué, de ce point de vue,
au maniement des fonctions circulaires et logarithmique; on a pris conscience
du lien entre différentiation et intégration; on a commencé à aborder la G méthode
inverse des tangentes w, nom donné à cette époque aux problèmes qui se ramènent aux équations différentielles du premier ordre. La découverte sensam
tionnelle de la série log (1 + x) = - (-x)"/n par Mercator vient d'ouvrir
des perspectives toutes nouvelles sur l'application des séries, et principalement
des séries de puissances, aux problèmes dits <( impossibles o. En revanche les rangs
des mathématiciens se sont singulièrement éclaircis: Barrow a quitté la chaire du
professeur pour celle du prédicateur; Huygens mis à part (qui a presque toute
son œuvre mathématique derrière lui, ayant obtenu déjà tous les principaux
résultats de 1'Horologium Oscillatorium qu'il se dispose à rédiger définitivement), ne
sont actifs que Newton à Cambridge, et J. Gregory isolé à Aberdeen, auxquels
Leibniz s'adjoindra bientôt avec une ardeur de néophyte. Tous trois, Newton à
partir de 1665 déjà, J. Gregory à partir de la publication de Mercator en 1668,