NOTE HISTORIQUE
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la dérivée conçue comme pente de la tangente, et l'intégrale conçue comme aire;
mais il n'en est rien, et il démontre plus loin, d'une manière purement géométrique ((XVIII), Lect. X, $ 11, p. 243) que, si deux courbes y = f (x),
+
Y = F(x) sont telles que les ordonnées Y soient proportionnelles aux aires J "
: y dx
(c'est-à-dire si c.F(x) = " f (x) dx), alors la tangente à Y = F(x) coupe Ox au
point d'abscisse x - T déterminée par y/Y = c/T; la démonstration est d'ailleurs
parfaitement précise, à partir de l'hypothèse explicite que f (x) est monotone, et
il est dit que le sens de variation de f ( x ) détermine le sens de la concavité de
Y = F(x). Mais on notera que ce théorème se perd quelque peu parmi une foule
d'autres, dont beaucoup fort intéressants; le lecteur non prévenu est tenté de
n'y voir qu'un moyen de résoudre par quadrature le problème Y/T = f(x)/c,
c'est-à-dire un certain problème de détermination d'une courbe à partir de
données sur sa tangente (ou, comme nous dirions, une équation différentielle
d'un genre particulier); et cela d'autant plus que les applications qu'en donne
Barrow concernent avant tout des problèmes du même genre (c'est-à-dire des
équations différentielles intégrables par (( séparation des variables )>). Le langage
géométrique que s'impose Barrow est ici cause que le lien entre différentiation et
intégration, si clair tant qu'il s'agissait de cinématique, est quelque peu obscurci.
D'autre part, diverses méthodes avaient pris forme, pour ramener les problèmes d'intégration les uns aux autres, et les (< résoudre » ou bien les réduire à des
problèmes (< impossibles >> déjà classés. Sous sa forme géométrique la plus simple,
l'intégration par parties consiste à écrire l'aire comprise entre Ox, Oy, et un arc
de courbe monotone y = f (x) joignant un point (a, O) de Ox à un point (O, 6) de
Oy comme j," y dx = Si x dy; et elle est fréquemment utilisée d'une manière
implicite. Chez Pascal ((XII c), p. 287-288) apparaît la généralisation suivante,
déjà beaucoup plus cachée : J(x) étant comme ci-dessus, soit g (x) une fonction 3 0,
et soit G(x) = J," g(x) dx; alors on a J," yg(x) dx = 1 : G(x) dy, ce qu'il démontre
ingénieusement en évaluant de deux manières le volume du solide O < x < a,
% n i - i
0 6 y < f (x), 0 6 z 6 g(x) ; le cas particulier g(x) = xn, G(x) = -
+
joue un
rôle important, a la fois chez Pascal (loc. cit., p. 289-291) et chez Fermat ((XI),
t. 1, p. 271) ; ce dernier (dont le travail porte le titre significatif de << Transmutation
et émendation des équations des courbes, et ses applications variées à la comparaison des espaces
curuilignes entre eux et avec les espaces rectilignes.. . ))) ne le démontre pas, sans doute
parce qu'il juge inutile de répéter ce que Pascal venait de publier. Ces théorèmes
de << transmutation r), où nous verrions une combinaison d'intégration par parties
et de changement de variables, tiennent lieu en quelque mesure de celui-ci, qui ne
s'introduit que fort tard; il est en effet contraire au mode de pensée, encore trop
géométrique et trop peu analytique, de l'époque, de se permettre l'usage de
variables autres que celles qu'impose la figure, c'est-à-dire l'une ou l'autre des
coordonnées (ou parfois des coordonnées polaires), puis l'arc de la courbe. C'est
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la dérivée conçue comme pente de la tangente, et l'intégrale conçue comme aire;
mais il n'en est rien, et il démontre plus loin, d'une manière purement géométrique ((XVIII), Lect. X, $ 11, p. 243) que, si deux courbes y = f (x),
+
Y = F(x) sont telles que les ordonnées Y soient proportionnelles aux aires J "
: y dx
(c'est-à-dire si c.F(x) = " f (x) dx), alors la tangente à Y = F(x) coupe Ox au
point d'abscisse x - T déterminée par y/Y = c/T; la démonstration est d'ailleurs
parfaitement précise, à partir de l'hypothèse explicite que f (x) est monotone, et
il est dit que le sens de variation de f ( x ) détermine le sens de la concavité de
Y = F(x). Mais on notera que ce théorème se perd quelque peu parmi une foule
d'autres, dont beaucoup fort intéressants; le lecteur non prévenu est tenté de
n'y voir qu'un moyen de résoudre par quadrature le problème Y/T = f(x)/c,
c'est-à-dire un certain problème de détermination d'une courbe à partir de
données sur sa tangente (ou, comme nous dirions, une équation différentielle
d'un genre particulier); et cela d'autant plus que les applications qu'en donne
Barrow concernent avant tout des problèmes du même genre (c'est-à-dire des
équations différentielles intégrables par (( séparation des variables )>). Le langage
géométrique que s'impose Barrow est ici cause que le lien entre différentiation et
intégration, si clair tant qu'il s'agissait de cinématique, est quelque peu obscurci.
D'autre part, diverses méthodes avaient pris forme, pour ramener les problèmes d'intégration les uns aux autres, et les (< résoudre » ou bien les réduire à des
problèmes (< impossibles >> déjà classés. Sous sa forme géométrique la plus simple,
l'intégration par parties consiste à écrire l'aire comprise entre Ox, Oy, et un arc
de courbe monotone y = f (x) joignant un point (a, O) de Ox à un point (O, 6) de
Oy comme j," y dx = Si x dy; et elle est fréquemment utilisée d'une manière
implicite. Chez Pascal ((XII c), p. 287-288) apparaît la généralisation suivante,
déjà beaucoup plus cachée : J(x) étant comme ci-dessus, soit g (x) une fonction 3 0,
et soit G(x) = J," g(x) dx; alors on a J," yg(x) dx = 1 : G(x) dy, ce qu'il démontre
ingénieusement en évaluant de deux manières le volume du solide O < x < a,
% n i - i
0 6 y < f (x), 0 6 z 6 g(x) ; le cas particulier g(x) = xn, G(x) = -
+
joue un
rôle important, a la fois chez Pascal (loc. cit., p. 289-291) et chez Fermat ((XI),
t. 1, p. 271) ; ce dernier (dont le travail porte le titre significatif de << Transmutation
et émendation des équations des courbes, et ses applications variées à la comparaison des espaces
curuilignes entre eux et avec les espaces rectilignes.. . ))) ne le démontre pas, sans doute
parce qu'il juge inutile de répéter ce que Pascal venait de publier. Ces théorèmes
de << transmutation r), où nous verrions une combinaison d'intégration par parties
et de changement de variables, tiennent lieu en quelque mesure de celui-ci, qui ne
s'introduit que fort tard; il est en effet contraire au mode de pensée, encore trop
géométrique et trop peu analytique, de l'époque, de se permettre l'usage de
variables autres que celles qu'impose la figure, c'est-à-dire l'une ou l'autre des
coordonnées (ou parfois des coordonnées polaires), puis l'arc de la courbe. C'est