FVR 111.50
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
à l'une de ces quadratures O impossibles o. C'est le cas par exemple des problèmes
sur la cycloïde, résolus par les fonctions circulaires, et de la rectification de la
parabole, ramenée à la quadrature de l'hyperbole.
Les problèmes de rectification, dont nous venons de citer deux des plus
fameux, ont eu une importance particulière, comme formant une transition
géométrique naturelle entre la différentiation, qu'ils présupposent, et l'intégration dont ils relèvent; on peut leur associer les problèmes sur l'aire des surfaces de
révolution. Les anciens n'avaient traité que le cas du cercle et de la sphère. Au
X V I I ~ siècle, ces questions n'apparaissent que fort tard; il semble que la difficulté,
insurmontable pour l'époque, de la rectification de l'ellipse (considérée comme
la courbe la plus simple après le cercle) ait découragé les efforts. Les méthodes
cinématiques donnent quelque accès à ces problèmes, ce qui permet à Roberval
(VI11 b) et Torricelli ((VII), t. III, p. 103-159), entre 1640 et 1645, d'obtenir
des résultats sur l'arc des spirales; mais c'est seulement dans les années qui précèdent 1660 qu'ils passent à l'ordre du jour; la cycloïde est rectifiée par Wren en
1658 ((XV), t. 1, p. 533-541); peu après la courbe y3 = ax2 l'est par divers
auteurs ((XV), t. 1, p. 551-553; (X bis), p. 517-520; (XI d)), et plusieurs
auteurs aussi ((XI), t. 1, p. 199; (XVI), t. II, p. 224) ramènent la rectification de
la parabole à la quadrature de l'hyperbole (c'est-à-dire à une fonction algébricologarithmique). Ce dernier exemple est le plus important, car c'est un cas particulier du principe général d'après lequel la rectification d'une courbe y = f (x)
n'est pas autre chose que la quadrature de y = 4 1 + ( f ' ( ~ ) ) ~ ;
et c'est bien de
ce principe que Heurat le déduit. 11 n'est pas moins intéressant de suivre les
tâtonnements de Fermat vieillissant, dans son travail sur la courbe y3 = ax2
(XI d); à la courbe y = f (x) d'arc s = g(x), il associe la courbe y = g(x), et
détermine la tangente à celle-ci à partir de la tangente à la première (en langage
moderne, il démontre que leurs pentes f '(x), g'(x) sont liées par la relation
( d ( 4 ) 2 = = + ( f ' ( ~ ) ) ~ ) ;
on se croit tout près de Barrow, et il n'y aurait qu'à combiner ce résultat avec
celui de Heurat (ce que fait à peu près Gregory en 1668 ((XVII bis), p. 488491)) pour obtenir la relation entre tangentes et quadratures; mais Fermat
énonce seulement que si, pour deux courbes rapportées chacune à un système
d'axes rectangulaires, les tangentes aux points de même abscisse ont toujours
même pente, les courbes sont égales, ou autrement dit que la connaissance de
f'(x) détermine f (x) (à une constante près) ; et il ne justifie cette assertion que par
un raisonnement obscur sans aucune valeur probante.
Moins de dix ans plus tard, les Lectiones Geometricae de Barrow (XVIII)
avaient paru. Dès le début (Lect. 1), il pose en principe que, dans un mouvement
rectiligne, les espaces sont proportionnels aux aires J": u dt comprises entre l'axe
des temps et la courbe des vitesses. On croirait qu'il va déduire de là, et de sa
méthode cinématique déjà citée sur la détermination des tangentes, le lien entre
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
à l'une de ces quadratures O impossibles o. C'est le cas par exemple des problèmes
sur la cycloïde, résolus par les fonctions circulaires, et de la rectification de la
parabole, ramenée à la quadrature de l'hyperbole.
Les problèmes de rectification, dont nous venons de citer deux des plus
fameux, ont eu une importance particulière, comme formant une transition
géométrique naturelle entre la différentiation, qu'ils présupposent, et l'intégration dont ils relèvent; on peut leur associer les problèmes sur l'aire des surfaces de
révolution. Les anciens n'avaient traité que le cas du cercle et de la sphère. Au
X V I I ~ siècle, ces questions n'apparaissent que fort tard; il semble que la difficulté,
insurmontable pour l'époque, de la rectification de l'ellipse (considérée comme
la courbe la plus simple après le cercle) ait découragé les efforts. Les méthodes
cinématiques donnent quelque accès à ces problèmes, ce qui permet à Roberval
(VI11 b) et Torricelli ((VII), t. III, p. 103-159), entre 1640 et 1645, d'obtenir
des résultats sur l'arc des spirales; mais c'est seulement dans les années qui précèdent 1660 qu'ils passent à l'ordre du jour; la cycloïde est rectifiée par Wren en
1658 ((XV), t. 1, p. 533-541); peu après la courbe y3 = ax2 l'est par divers
auteurs ((XV), t. 1, p. 551-553; (X bis), p. 517-520; (XI d)), et plusieurs
auteurs aussi ((XI), t. 1, p. 199; (XVI), t. II, p. 224) ramènent la rectification de
la parabole à la quadrature de l'hyperbole (c'est-à-dire à une fonction algébricologarithmique). Ce dernier exemple est le plus important, car c'est un cas particulier du principe général d'après lequel la rectification d'une courbe y = f (x)
n'est pas autre chose que la quadrature de y = 4 1 + ( f ' ( ~ ) ) ~ ;
et c'est bien de
ce principe que Heurat le déduit. 11 n'est pas moins intéressant de suivre les
tâtonnements de Fermat vieillissant, dans son travail sur la courbe y3 = ax2
(XI d); à la courbe y = f (x) d'arc s = g(x), il associe la courbe y = g(x), et
détermine la tangente à celle-ci à partir de la tangente à la première (en langage
moderne, il démontre que leurs pentes f '(x), g'(x) sont liées par la relation
( d ( 4 ) 2 = = + ( f ' ( ~ ) ) ~ ) ;
on se croit tout près de Barrow, et il n'y aurait qu'à combiner ce résultat avec
celui de Heurat (ce que fait à peu près Gregory en 1668 ((XVII bis), p. 488491)) pour obtenir la relation entre tangentes et quadratures; mais Fermat
énonce seulement que si, pour deux courbes rapportées chacune à un système
d'axes rectangulaires, les tangentes aux points de même abscisse ont toujours
même pente, les courbes sont égales, ou autrement dit que la connaissance de
f'(x) détermine f (x) (à une constante près) ; et il ne justifie cette assertion que par
un raisonnement obscur sans aucune valeur probante.
Moins de dix ans plus tard, les Lectiones Geometricae de Barrow (XVIII)
avaient paru. Dès le début (Lect. 1), il pose en principe que, dans un mouvement
rectiligne, les espaces sont proportionnels aux aires J": u dt comprises entre l'axe
des temps et la courbe des vitesses. On croirait qu'il va déduire de là, et de sa
méthode cinématique déjà citée sur la détermination des tangentes, le lien entre