NOTE HISTORIQUE
FVR 111.49
les principes de Cavalieri le mettent à même de reconnaître aussitôt que beaucoup des problèmes résolus par Archimède se ramènent à des quadratures J x n dx
pour n = 1,2, 3; et il imagine une ingénieuse méthode pour effectuer cette
quadrature pour autant de valeurs de n qu'on veut (la méthode revient à observer
qu'on a Jia xn dx = cnan + l par homogénéité, et à écrire
d'où, en développant, une relation de récurrence pour les c,) ((VI a), p. 159 et
(VI b), p. 269-273). Mais déjà Fermat était parvenu beaucoup plus loin, en
démontrant d'abord (avant 1636) que
pour n entier positif
n + l
((XI), t. II, p. 83), au moyen d'une formule pour les sommes de puissances des
N premiers entiers (procédé imité de la quadrature de la spirale par Archimède),
puis en étendant la même formule à tout n rationnel # - 1 ((XI), t. 1, p. 195198) ; de ce dernier résultat (communiqué à Cavalieri en 1644) il ne rédige une
démonstration que fort tard, à la suite de la lecture des écrits de Pascal sur l'intégrationl (XI c) .
Ces résultats, joints à des considérations géométriques qui tiennent lieu du
changement de variables et de l'intégration par parties, permettent déjà de
résoudre un grand nombre de problèmes qui se ramènent aux quadratures
élémentaires. Au delà, on rencontre d'abord la quadrature du cercle et celle de
l'hyperbole: comme c'est surtout d'<
étaient données géométriquement, et nous avons vu comment celui-ci s'est peu
à peu introduit en analyse. Ces quadratures font l'objet de nombreux travaux, de
Grégoire de St.-Vincent (IX), Huygens ((XVI c) et (XVP d)), Wallis (XV a),
Gregory (XVII a) ; le premier croit effectuer la quadrature du cercle, le dernier
croit démontrer la transcendance de n; chez les uns et les autres se développent
des procédés d'approximation indéfinie des fonctions circulaires etlogarithmiques,
les uns de tendance théorique, d'autres orientés vers le calcul numérique, qui vont
aboutir bientôt, avec Newton ((XIX a) et (XIX b)), Mercator (XIII), J. Gregory
(XVII bis), puis Leibniz (XXII), à des méthodes générales de développement
en série. En tout cas, la conviction se fait jour peu à peu de 1' (( impossibilité >) des
quadratures en question, c'est-à-dire du caractère non algébrique des fonctions
qu'elles définissent; et en même temps, on s'accoutume à considérer qu'un
problème est résolu pour autant que sa nature le comporte, lorsqu'il a été ramené
* Il est remarquable que Fermat, si scrupuleux, utilise l'additivité de l'intégrale, sans un mot pour
la justifier, dans !es applications qu'il donne de ses résultats généraux: se base-t-il sur la monotonie
par morceaux, implicitement admise, des fonctions qu'il étudie, moyennant laquelle il n'est pas
difficile en effet de justifier I'additivité par exhaustion? ou bien est-il déjà, en dépit de lui-même
entraîné par le langage dont il se sert?
FVR 111.49
les principes de Cavalieri le mettent à même de reconnaître aussitôt que beaucoup des problèmes résolus par Archimède se ramènent à des quadratures J x n dx
pour n = 1,2, 3; et il imagine une ingénieuse méthode pour effectuer cette
quadrature pour autant de valeurs de n qu'on veut (la méthode revient à observer
qu'on a Jia xn dx = cnan + l par homogénéité, et à écrire
d'où, en développant, une relation de récurrence pour les c,) ((VI a), p. 159 et
(VI b), p. 269-273). Mais déjà Fermat était parvenu beaucoup plus loin, en
démontrant d'abord (avant 1636) que
pour n entier positif
n + l
((XI), t. II, p. 83), au moyen d'une formule pour les sommes de puissances des
N premiers entiers (procédé imité de la quadrature de la spirale par Archimède),
puis en étendant la même formule à tout n rationnel # - 1 ((XI), t. 1, p. 195198) ; de ce dernier résultat (communiqué à Cavalieri en 1644) il ne rédige une
démonstration que fort tard, à la suite de la lecture des écrits de Pascal sur l'intégrationl (XI c) .
Ces résultats, joints à des considérations géométriques qui tiennent lieu du
changement de variables et de l'intégration par parties, permettent déjà de
résoudre un grand nombre de problèmes qui se ramènent aux quadratures
élémentaires. Au delà, on rencontre d'abord la quadrature du cercle et celle de
l'hyperbole: comme c'est surtout d'<
étaient données géométriquement, et nous avons vu comment celui-ci s'est peu
à peu introduit en analyse. Ces quadratures font l'objet de nombreux travaux, de
Grégoire de St.-Vincent (IX), Huygens ((XVI c) et (XVP d)), Wallis (XV a),
Gregory (XVII a) ; le premier croit effectuer la quadrature du cercle, le dernier
croit démontrer la transcendance de n; chez les uns et les autres se développent
des procédés d'approximation indéfinie des fonctions circulaires etlogarithmiques,
les uns de tendance théorique, d'autres orientés vers le calcul numérique, qui vont
aboutir bientôt, avec Newton ((XIX a) et (XIX b)), Mercator (XIII), J. Gregory
(XVII bis), puis Leibniz (XXII), à des méthodes générales de développement
en série. En tout cas, la conviction se fait jour peu à peu de 1' (( impossibilité >) des
quadratures en question, c'est-à-dire du caractère non algébrique des fonctions
qu'elles définissent; et en même temps, on s'accoutume à considérer qu'un
problème est résolu pour autant que sa nature le comporte, lorsqu'il a été ramené
* Il est remarquable que Fermat, si scrupuleux, utilise l'additivité de l'intégrale, sans un mot pour
la justifier, dans !es applications qu'il donne de ses résultats généraux: se base-t-il sur la monotonie
par morceaux, implicitement admise, des fonctions qu'il étudie, moyennant laquelle il n'est pas
difficile en effet de justifier I'additivité par exhaustion? ou bien est-il déjà, en dépit de lui-même
entraîné par le langage dont il se sert?