FVR 111.48
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
de la courbe dont on fait la G somme D, non des segments de droite comme
Cavalieri, mais des rectangles de même hauteur infiniment petite, ce qui n'est
pas un grand progrès du point de vue de la rigueur (quoi qu'en dise Roberval),
mais empêche peut-être l'imagination de dérailler trop facilement. En tout cas,
et comme il ne s'agit que de rapports, l'expression <
courbe, est en définitive, comme il apparaît bien par exemple dans les écrits
de Pascal, l'équivalent exact du J"zj dx leibnizien.
Du langage adopté par Cavalieri, les principes énoncés plus haut s'ensuivent
inévitablement, et entraînent aussitôt des conséquences que nous allons énoncer
en notation moderne, étant entendu que J" f dx y signifiera seulement l'aire comprise entre Ox et la courbe y = f (x). Tout d'abord, toute aire plane, coupée par
chaque droite x = constante suivant des segments dont la somme des longueurs
est f (x), est égale à J" f dx; et il en est de même de tout volume coupé par chaque
plan x = constante suivant une aire de mesure f(x). De plus, J"f dx dépend
linéairement de f; on a J" (f + g) dx = J" f dx + Jg dx, J"cfdx = c J" f dx. En
particulier, tous les problèmes d'aires et de volumes sont ramenés aux quadratures, c'est-à-dire à des calculs d'aires de la forme J" f dx; et, ce qui est peut-être
encore plus nouveau et important, on doit considérer comme équivalents deux
problèmes dépendant de la même quadrature, et on a le moyen dans chaque cas
de décider s'il en est ainsi. Les mathématiciens grecs n'ont jamais atteint (ou
peut-être n'ont jamais consenti à atteindre) un tel degré d ' ~
abstraction )>. Ainsi
((VI), p. 133) Cavalieri G démontre 1) sans aucune peine que deux volumes
semblables sont entre eux dans un rapport égal au cube du rapport de similitude,
alors qu'Archimède n'énonce cette conclusion, pour les quadriques de révolution
et leurs segments, qu'au terme de sa théorie de ces solides ((II), t. 1, p. 258). Mais
pour en arriver là il a fallu jeter la rigueur archimédienne par-dessus bord.
On avait donc là le moyen de classifier les problèmes, provisoirement du
moins, suivant le degré de difficulté réel ou apparent que présentaient les quadratures dont ils relevaient. C'est à quoi l'algèbre de l'époque a servi de modèle : car
en algèbre aussi, et dans les problèmes algébriques qui se posent en géométrie,
alors que les Grecs ne s'étaient intéressés qu'aux solutions, les algébristes du XVI"
et du XVIP siècle ont commencé à porter principalement leur attention sur la
classification des problèmes suivant la nature des moyens qui peuvent servir à les
résoudre, préludant ainsi à la théorie moderne des extensions algébriques; et ils
n'avaient pas seulement procédé à une première classification des problèmes suivant le degré de l'équation dont ils dépendent, mais ils s'étaient déjà posé de
difficiles questions de possibilité: possibilité de résoudre toute équation par
radicaux (à laquelle beaucoup ne croyaient plus), etc. (voir Note historique du
Livre II, chap. V) ; ils s'étaient préoccupés aussi de ramener à une forme géométrique type tous les problèmes d'un degré donné. De même en Calcul intégral,
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
de la courbe dont on fait la G somme D, non des segments de droite comme
Cavalieri, mais des rectangles de même hauteur infiniment petite, ce qui n'est
pas un grand progrès du point de vue de la rigueur (quoi qu'en dise Roberval),
mais empêche peut-être l'imagination de dérailler trop facilement. En tout cas,
et comme il ne s'agit que de rapports, l'expression <
courbe, est en définitive, comme il apparaît bien par exemple dans les écrits
de Pascal, l'équivalent exact du J"zj dx leibnizien.
Du langage adopté par Cavalieri, les principes énoncés plus haut s'ensuivent
inévitablement, et entraînent aussitôt des conséquences que nous allons énoncer
en notation moderne, étant entendu que J" f dx y signifiera seulement l'aire comprise entre Ox et la courbe y = f (x). Tout d'abord, toute aire plane, coupée par
chaque droite x = constante suivant des segments dont la somme des longueurs
est f (x), est égale à J" f dx; et il en est de même de tout volume coupé par chaque
plan x = constante suivant une aire de mesure f(x). De plus, J"f dx dépend
linéairement de f; on a J" (f + g) dx = J" f dx + Jg dx, J"cfdx = c J" f dx. En
particulier, tous les problèmes d'aires et de volumes sont ramenés aux quadratures, c'est-à-dire à des calculs d'aires de la forme J" f dx; et, ce qui est peut-être
encore plus nouveau et important, on doit considérer comme équivalents deux
problèmes dépendant de la même quadrature, et on a le moyen dans chaque cas
de décider s'il en est ainsi. Les mathématiciens grecs n'ont jamais atteint (ou
peut-être n'ont jamais consenti à atteindre) un tel degré d ' ~
abstraction )>. Ainsi
((VI), p. 133) Cavalieri G démontre 1) sans aucune peine que deux volumes
semblables sont entre eux dans un rapport égal au cube du rapport de similitude,
alors qu'Archimède n'énonce cette conclusion, pour les quadriques de révolution
et leurs segments, qu'au terme de sa théorie de ces solides ((II), t. 1, p. 258). Mais
pour en arriver là il a fallu jeter la rigueur archimédienne par-dessus bord.
On avait donc là le moyen de classifier les problèmes, provisoirement du
moins, suivant le degré de difficulté réel ou apparent que présentaient les quadratures dont ils relevaient. C'est à quoi l'algèbre de l'époque a servi de modèle : car
en algèbre aussi, et dans les problèmes algébriques qui se posent en géométrie,
alors que les Grecs ne s'étaient intéressés qu'aux solutions, les algébristes du XVI"
et du XVIP siècle ont commencé à porter principalement leur attention sur la
classification des problèmes suivant la nature des moyens qui peuvent servir à les
résoudre, préludant ainsi à la théorie moderne des extensions algébriques; et ils
n'avaient pas seulement procédé à une première classification des problèmes suivant le degré de l'équation dont ils dépendent, mais ils s'étaient déjà posé de
difficiles questions de possibilité: possibilité de résoudre toute équation par
radicaux (à laquelle beaucoup ne croyaient plus), etc. (voir Note historique du
Livre II, chap. V) ; ils s'étaient préoccupés aussi de ramener à une forme géométrique type tous les problèmes d'un degré donné. De même en Calcul intégral,