NOTE HISTORIQUE
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première a été réalisée d'assez bonne heure. Quant aux problèmes relatifs à la
dérivée seconde, ils n'apparaissent que fort tard, et surtout avec les travaux de
Huygens sur la développée d'une courbe (publiés en 1673 dans son Horologium
Oscillatorium (XVI 6 ) ) ; à ce moment, Newton, avec ses fluxions, était déjà en
possession de tous les moyens analytiques nécessaires pour résoudre de tels
problèmes; et, malgré tout le talent géométrique qu'y dépense Huygens (et dont
plus tard la géométrie différentielle à ses débuts devait profiter), ils n'ont guère
servi à autre chose, pour la période qui nous occupe, qu'à permettre à la nouvelle
analyse de constater la puissance de ses moyens.
Pour l'intégration, elle était apparue aux Grecs comme calcul d'aires, de
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volumes, de moments, comme calcut de lx longueur du cercleet d'aires de segments sphériques; à quoi le xvne siècle ajoute la rectification des courbes, le calcul
de l'aire des surfaces de révolution, et (avec les travaux de Huygens sur le pendule
composé (XVI 6)) le calcul des moments d'inertie. Il s'agissait d'abord de
reconnaître le lien entre tous ces problèmes. Pour les aires et les volumes, ce
premier et immense pas en avant est fait par Cavalieri, dans sa Géométrie des
indivisibles (VI a). Il y énonce, et prétend démontrer, à peu près le principe
suivant: si deux aires planes sont telles que toute parallèle à une direction donnée
les coupe suivant des segments dont les longueurs sont dans un rapport constant,
alors ces aires sont dans le même rapport; un principe analogue est posé pour les
volumes coupés par les plans parallèles à un plan fixe suivant des aires dont les
mesures soient dans un rapport constant. Il est vraisemblable que ces principes
ont été suggérés à Cavalieri par des théorèmes tels que celui d'Euclide (ou plutôt
d'Eudoxe) sur le rapport des volumes des pyramides de même Ilauteur, et qu'avant de les poser d'une manière générale, il en a d'abord vérifié la validité sur un
grand nombre d'exemples pris dans Archimède. Ils les_(( justifie a par Yemplei - - -
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d'un Tangage, iÜr la Ggitimité-du&;l on le voit interroger Galilée dans une
lettre de 1621, alors qu'en 1622 déjà il l'emploie sans hésitation ((III), t. XIII,
p. 81 et 86) et dont voici l'essentiel. Soient par exemple deux aires,
n - 1
n - 1
les sommes d'ordonnées
f(knln), 2 g(ka/n) sont l'une à l'autre dans un
k = O
k = O
rapport qui, pour n assez grand, est aussi voisin qu'on veut du rapport des deux
aires, et il ne serait même pas difficile de le démontrer par exhaustion pour f et g
monotones; Cavalieri passe à la limite, fait n = CO, et parle de <( la somme de
toutes les ordonnées D de la première courbe, qui est à la somme analogue pour
la deuxième courbe dans un rapport rigoureusement égal au rapport des aires;
de même pour les volumes; et ce langage est ensuite universellement adopté,
même par les auteurs, comme Fermat, qui ont le plus nettement conscience des
faits précis qu'il recouvre. Il est vrai que par la suite beaucoup de mathématiciens, tels Roberval (VI-II a) et Pascal [XR bj, préf&rent voir; dansce~ordonnées
FVR 111.47
première a été réalisée d'assez bonne heure. Quant aux problèmes relatifs à la
dérivée seconde, ils n'apparaissent que fort tard, et surtout avec les travaux de
Huygens sur la développée d'une courbe (publiés en 1673 dans son Horologium
Oscillatorium (XVI 6 ) ) ; à ce moment, Newton, avec ses fluxions, était déjà en
possession de tous les moyens analytiques nécessaires pour résoudre de tels
problèmes; et, malgré tout le talent géométrique qu'y dépense Huygens (et dont
plus tard la géométrie différentielle à ses débuts devait profiter), ils n'ont guère
servi à autre chose, pour la période qui nous occupe, qu'à permettre à la nouvelle
analyse de constater la puissance de ses moyens.
Pour l'intégration, elle était apparue aux Grecs comme calcul d'aires, de
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volumes, de moments, comme calcut de lx longueur du cercleet d'aires de segments sphériques; à quoi le xvne siècle ajoute la rectification des courbes, le calcul
de l'aire des surfaces de révolution, et (avec les travaux de Huygens sur le pendule
composé (XVI 6)) le calcul des moments d'inertie. Il s'agissait d'abord de
reconnaître le lien entre tous ces problèmes. Pour les aires et les volumes, ce
premier et immense pas en avant est fait par Cavalieri, dans sa Géométrie des
indivisibles (VI a). Il y énonce, et prétend démontrer, à peu près le principe
suivant: si deux aires planes sont telles que toute parallèle à une direction donnée
les coupe suivant des segments dont les longueurs sont dans un rapport constant,
alors ces aires sont dans le même rapport; un principe analogue est posé pour les
volumes coupés par les plans parallèles à un plan fixe suivant des aires dont les
mesures soient dans un rapport constant. Il est vraisemblable que ces principes
ont été suggérés à Cavalieri par des théorèmes tels que celui d'Euclide (ou plutôt
d'Eudoxe) sur le rapport des volumes des pyramides de même Ilauteur, et qu'avant de les poser d'une manière générale, il en a d'abord vérifié la validité sur un
grand nombre d'exemples pris dans Archimède. Ils les_(( justifie a par Yemplei - - -
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d'un Tangage, iÜr la Ggitimité-du&;l on le voit interroger Galilée dans une
lettre de 1621, alors qu'en 1622 déjà il l'emploie sans hésitation ((III), t. XIII,
p. 81 et 86) et dont voici l'essentiel. Soient par exemple deux aires,
n - 1
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les sommes d'ordonnées
f(knln), 2 g(ka/n) sont l'une à l'autre dans un
k = O
k = O
rapport qui, pour n assez grand, est aussi voisin qu'on veut du rapport des deux
aires, et il ne serait même pas difficile de le démontrer par exhaustion pour f et g
monotones; Cavalieri passe à la limite, fait n = CO, et parle de <( la somme de
toutes les ordonnées D de la première courbe, qui est à la somme analogue pour
la deuxième courbe dans un rapport rigoureusement égal au rapport des aires;
de même pour les volumes; et ce langage est ensuite universellement adopté,
même par les auteurs, comme Fermat, qui ont le plus nettement conscience des
faits précis qu'il recouvre. Il est vrai que par la suite beaucoup de mathématiciens, tels Roberval (VI-II a) et Pascal [XR bj, préf&rent voir; dansce~ordonnées