FVR 111.46
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
courbes algébriques l'objet exclusif de la géométrie ((X), t. VI, p. 390); aussi
est-ce une méthode de géométrie algébrique, et non comme Fermat une
méthode de calcul différentiel, qu'il donne pour la détcrmination des tangentes.
Les résultats légués par les anciens sur l'intci-section d'unc droite et d'une conique,
les réflexions de Descartes lui-même sur I'interscction de deux coniques et les
problèmcs qui s'y ramènent, devaicnt tout naturellement le conduire à l'idée de
prendre pour critère de contact la coïncidence dc deux intersections: nous savons
aujourd'hui qu'en géométric algébrique c'est là le critère correct, et d'une si
grande généralité qu'il est indépendant du concept dc limite et de la nature du
(( corps de base D. Dcscartcs l'applique d'abord d'une manière peu commode, en
cherchant à faire coïncider en un point donné deux interscctions de la courbe
étudiée et d'un cercle ayant son centre sur Ox ((X), t. VI, p. 413-424); ses
disciples, van Scl-iooten, Hudde, substituent au cercle une droite, et obtiennent
sous la forme -FY/FY la pente de la tangente à la courbe
les G polynômes dériv6 )) FX, F j étant définis par leur règle formelle dc formation
((X bis), t. 1, p. 147-344 et (XXII), p. 234-237) ; de Sluse arrive aussi à ce
résultat vers la même époque ((XXII), p. 232-234). Bien entendu les distinctions
tranchées que nous marquons ici, et qui seules donnent un sens à la controverse
entre Descartes et Fermat, ne pouvaient en aucune façon exister dans l'esprit des
mathématiciens du xvne siècle: nous nc lcs avons mentionnées que pour éclairer
un des plus curieux épisodes de l'liistoirc qui nous occupe, et pour constater
presque aussitôt après la complète éclipse des méthodes algébriques, provisoirement absorbées par les méthodes différentielles.
19) ClassiJication des problèmes. Ce thème, nous l'avons vu, semble abscnt de
l'ccuvre d'Archimède, à qui il est assez indiflérent de résoudre un problème
directement ou de le ramener à un problème déjà traité. Au xvlrC siècle, les
problèmes de différentiation apparaissent d'abord sous trois aspects distincts:
vitesses, tangentes, maxima ct minima. Quant à ces derniers, Képler (V) fait
l'observation (qu'on trouve déjà chez Orrsmel, et qui n'avait pas échappé même
aux astronomes babyloniens) que la variation d'unc fonction est particulièrement lente au voisinage d'un maximum. Fermat, dès avant 1630 ((XI b) ; cf. (XI),
t. II, p. 7 1)' inaugure à propos de tels problèmcs sa méthode infinitésimale, qui en
langage moderne revient en somme à rcchcrcher les deux premiers termes (le terme
constant et le terme du premier ordre) du développement dc Taylor, et à écrire
qu'en un extremum le second s'annule; il part de là pour étendre sa méthode à
la détermination des tangentes, et l'applique mEme à la recherche des points
d'inflcxion. Si on tient compte de ce qui a été dit plus haut à propos de cinématique, on voit que l'unification des trois types de problèmes relatifs à la dérivée
* H. WIPLEITNER, Der (i Tractatus de latitudinibus formarum des Oresme, Bibl. Mat. (III), t. 13
(1912), p. 115-145, en particulier p. 141.
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
courbes algébriques l'objet exclusif de la géométrie ((X), t. VI, p. 390); aussi
est-ce une méthode de géométrie algébrique, et non comme Fermat une
méthode de calcul différentiel, qu'il donne pour la détcrmination des tangentes.
Les résultats légués par les anciens sur l'intci-section d'unc droite et d'une conique,
les réflexions de Descartes lui-même sur I'interscction de deux coniques et les
problèmcs qui s'y ramènent, devaicnt tout naturellement le conduire à l'idée de
prendre pour critère de contact la coïncidence dc deux intersections: nous savons
aujourd'hui qu'en géométric algébrique c'est là le critère correct, et d'une si
grande généralité qu'il est indépendant du concept dc limite et de la nature du
(( corps de base D. Dcscartcs l'applique d'abord d'une manière peu commode, en
cherchant à faire coïncider en un point donné deux interscctions de la courbe
étudiée et d'un cercle ayant son centre sur Ox ((X), t. VI, p. 413-424); ses
disciples, van Scl-iooten, Hudde, substituent au cercle une droite, et obtiennent
sous la forme -FY/FY la pente de la tangente à la courbe
les G polynômes dériv6 )) FX, F j étant définis par leur règle formelle dc formation
((X bis), t. 1, p. 147-344 et (XXII), p. 234-237) ; de Sluse arrive aussi à ce
résultat vers la même époque ((XXII), p. 232-234). Bien entendu les distinctions
tranchées que nous marquons ici, et qui seules donnent un sens à la controverse
entre Descartes et Fermat, ne pouvaient en aucune façon exister dans l'esprit des
mathématiciens du xvne siècle: nous nc lcs avons mentionnées que pour éclairer
un des plus curieux épisodes de l'liistoirc qui nous occupe, et pour constater
presque aussitôt après la complète éclipse des méthodes algébriques, provisoirement absorbées par les méthodes différentielles.
19) ClassiJication des problèmes. Ce thème, nous l'avons vu, semble abscnt de
l'ccuvre d'Archimède, à qui il est assez indiflérent de résoudre un problème
directement ou de le ramener à un problème déjà traité. Au xvlrC siècle, les
problèmes de différentiation apparaissent d'abord sous trois aspects distincts:
vitesses, tangentes, maxima ct minima. Quant à ces derniers, Képler (V) fait
l'observation (qu'on trouve déjà chez Orrsmel, et qui n'avait pas échappé même
aux astronomes babyloniens) que la variation d'unc fonction est particulièrement lente au voisinage d'un maximum. Fermat, dès avant 1630 ((XI b) ; cf. (XI),
t. II, p. 7 1)' inaugure à propos de tels problèmcs sa méthode infinitésimale, qui en
langage moderne revient en somme à rcchcrcher les deux premiers termes (le terme
constant et le terme du premier ordre) du développement dc Taylor, et à écrire
qu'en un extremum le second s'annule; il part de là pour étendre sa méthode à
la détermination des tangentes, et l'applique mEme à la recherche des points
d'inflcxion. Si on tient compte de ce qui a été dit plus haut à propos de cinématique, on voit que l'unification des trois types de problèmes relatifs à la dérivée
* H. WIPLEITNER, Der (i Tractatus de latitudinibus formarum des Oresme, Bibl. Mat. (III), t. 13
(1912), p. 115-145, en particulier p. 141.