NOTE HISTORIQUE
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des démonstrations précises, à la manière des anciens, à partir d'hypothèses
simples de monotonie et de convexité. Mais le moment n'était déjà plus à verser
le vin nouveau dans de vieilles outres. Dans tout cela, nous le savons aujourd'hui,
c'est la notion de limite qui s'élaborait; et, si l'on peut extraire de Pascal, de
Newton, d'autres encore, des énoncés qui semblent bien proches de nos definitions
modernes, il n'est que de les replacer dans leur contexte pour apercevoir les
obstacles invincibles qui s'opposaient à un exposé rigoureux. Lorsqu'à partir du
XVIII" siècle des mathématiciens épris de clarté voulurent mettre quelque ordre
dans l'amas confus de leurs richesses, de telles indications, rencontrées dans les
écrits de leurs prédécesseurs, leur ont été précieuses; quand d'Alembert par
exemple explique qu'il n'y a rien d'autre dans la différentiation que la notion
de limite, et définit celle-ci avec précision (XXVI), on peut croire qu'il a été
guidé par les considérations de Newton sur les (( premières et dernières raisons
de quantités évanouissantes )) (XX). Mais, tant qu'il ne s'agit que du xvue siècle, il
faut bien constater que la voie n'est ouverte à l'analyse moderne que lorsque
Newton et Leibniz, tournant le dos au passé, acceptent de chercher provisoirement la justification des nouvelles méthodes, non dans des démonstrations
rigoureuses, mais dans la fécondité et la cohérence des résultats.
B) La cinématique. Déjà Archimède, on l'a vu, donnait une définition cinématique de sa spirale; et au moyen-âge se développe (mais sauf preuve du contraire, sans considérations infinitésimales) une théorie rudimentaire de la variation des grandeurs en fonction du temps, et de leur représentation graphique,
dont on doit peut-être faire remonter l'origine à l'astronomie babylonienne. Mais
il est de la plus grande importance pour la mathématique du xvne siècle que, dès
l'abord, les problèmes de différentiation se soient présentés, non seulement à
propos de tangentes, mais à propos de vitesses. Galilée pourtant ((III) et (III
bis)), recherchant la loi des vitesses dans la chute des graves (après avoir obtenu
la loi des espaces x = ut2, par l'expérience du plan incliné), ne procède pas par
différentiation: il fait diverses hypothèses sur la vitesse, d'abord v = dxla't = cx
((III), t. VIII, p. 203), puis plus tard v = ct (id., p. 208)' et cherche à retrouver
la loi des espaces en raisonnant, d'une manière assez obscure, sur le graphe de la
vitesse en fonction du temps; Descartes (en 1618) raisonne de même, sur la loi
v = ct, mais en vrai mathématicien et avec autant de clarté que le comporte le
langage des indivisibles1 ((X), t. X, p. 75--78); chez tous deux, le graphe de la
vitesse (en l'espèce une droite) joue le principal rôle et il y a lieu de se demander
jusqu'à quel point ils ont eu conscience de la proportionnalité entre les espaces
parcourus et les aires comprises entre l'axe des temps et la courbe des vitesses;
mais il est difficile de rien affirmer sur ce point, bien que le langage de Descartes
Descartes ajoute même un intéressant raisonnement géométrique par lequel il déduit la loi
x = utz de l'hypothèse duldt = ct. En revanche, il est piquant, dix ans plus tard, de le voir s'embrouiller dans ses notes, et recopier à l'usage de Mersenne un raisonnement inexact sur la même
question, où le graphe de la vitesse en fonction du temps est confondu avec le graphe en fonction de
l'espace parcouru ((X), t. 1, p. 71).
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des démonstrations précises, à la manière des anciens, à partir d'hypothèses
simples de monotonie et de convexité. Mais le moment n'était déjà plus à verser
le vin nouveau dans de vieilles outres. Dans tout cela, nous le savons aujourd'hui,
c'est la notion de limite qui s'élaborait; et, si l'on peut extraire de Pascal, de
Newton, d'autres encore, des énoncés qui semblent bien proches de nos definitions
modernes, il n'est que de les replacer dans leur contexte pour apercevoir les
obstacles invincibles qui s'opposaient à un exposé rigoureux. Lorsqu'à partir du
XVIII" siècle des mathématiciens épris de clarté voulurent mettre quelque ordre
dans l'amas confus de leurs richesses, de telles indications, rencontrées dans les
écrits de leurs prédécesseurs, leur ont été précieuses; quand d'Alembert par
exemple explique qu'il n'y a rien d'autre dans la différentiation que la notion
de limite, et définit celle-ci avec précision (XXVI), on peut croire qu'il a été
guidé par les considérations de Newton sur les (( premières et dernières raisons
de quantités évanouissantes )) (XX). Mais, tant qu'il ne s'agit que du xvue siècle, il
faut bien constater que la voie n'est ouverte à l'analyse moderne que lorsque
Newton et Leibniz, tournant le dos au passé, acceptent de chercher provisoirement la justification des nouvelles méthodes, non dans des démonstrations
rigoureuses, mais dans la fécondité et la cohérence des résultats.
B) La cinématique. Déjà Archimède, on l'a vu, donnait une définition cinématique de sa spirale; et au moyen-âge se développe (mais sauf preuve du contraire, sans considérations infinitésimales) une théorie rudimentaire de la variation des grandeurs en fonction du temps, et de leur représentation graphique,
dont on doit peut-être faire remonter l'origine à l'astronomie babylonienne. Mais
il est de la plus grande importance pour la mathématique du xvne siècle que, dès
l'abord, les problèmes de différentiation se soient présentés, non seulement à
propos de tangentes, mais à propos de vitesses. Galilée pourtant ((III) et (III
bis)), recherchant la loi des vitesses dans la chute des graves (après avoir obtenu
la loi des espaces x = ut2, par l'expérience du plan incliné), ne procède pas par
différentiation: il fait diverses hypothèses sur la vitesse, d'abord v = dxla't = cx
((III), t. VIII, p. 203), puis plus tard v = ct (id., p. 208)' et cherche à retrouver
la loi des espaces en raisonnant, d'une manière assez obscure, sur le graphe de la
vitesse en fonction du temps; Descartes (en 1618) raisonne de même, sur la loi
v = ct, mais en vrai mathématicien et avec autant de clarté que le comporte le
langage des indivisibles1 ((X), t. X, p. 75--78); chez tous deux, le graphe de la
vitesse (en l'espèce une droite) joue le principal rôle et il y a lieu de se demander
jusqu'à quel point ils ont eu conscience de la proportionnalité entre les espaces
parcourus et les aires comprises entre l'axe des temps et la courbe des vitesses;
mais il est difficile de rien affirmer sur ce point, bien que le langage de Descartes
Descartes ajoute même un intéressant raisonnement géométrique par lequel il déduit la loi
x = utz de l'hypothèse duldt = ct. En revanche, il est piquant, dix ans plus tard, de le voir s'embrouiller dans ses notes, et recopier à l'usage de Mersenne un raisonnement inexact sur la même
question, où le graphe de la vitesse en fonction du temps est confondu avec le graphe en fonction de
l'espace parcouru ((X), t. 1, p. 71).