FVR 111.42
PONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
l'axe1; des raçons de parler analogues pourront être cmployées lorsclu'il s'agit de
décomposer une aire cn triangles par des droites concourantes, ou de raisonner
sur la longueur d'un arc dc courbe comme s'il s'agissait d'un polygone à une
infinité de côtés, etc. Il cst certain quc les rares matliémüticiens qui possédaient à
fond le maniement des méthodes d'Archimède, tels Fermat, Pascal, Huygens,
Barrow, ne pouvaient, dans chaque cas particulier, trouver aucune difficulté d
remplacer l'emploi de cc langage par des démonstrations rigourcuscs; aussi fontils fréquemment remarquer que ce langage n'est là que pour abréger. ((Il serait
aisé D, dit Fermat, (< de donner des démonstrations à la manière d'drchimdde;. . ., ce dont il
sufia d'avoir averti une fois pour toutes nJn d'éviter des répétiliow continuelleî. . . )) ((XI), t.
1, p. 257) ; de même Pascal: <( ainsi l'une de ces méthodes ne dzJdre de l'autre qu'en la
maniére de parler )) ((XII b), p. 352) 2 ; et Barrow, avec sa concision narquoise:
<< longior discursus apagogicus adhiberi possit, sed quorsud r> (on pourrait allonger par
un discours apagogique, mais à quoi bon?) ((XVIII), p. 251). Fermat se garde
même bien, scmble-t-il, d'avancer quoi que ce soit qu'il nc puisse justifier ainsi, et
se condamne par là à n'énoncer aucun résultat général quc par allusion ou sous
forme de <( métliode O ; Barrow, pourtant si soigncux, est quelque peu moins
scrupuleux. Quant à la plupart de leurs contemporains, on peut dirc à tout le
moins que la rigueur n'cst pas leur principal souci, et que le nom d'Archimède
n'est le plus souvent qu'un pavillon destiné à couvrir unc m a ~ h a n d i s c de grand
prix sans doute, mais dont Archimède n'eût certes pas assumé la responsabilité. A
plus forte raison en est-il ainsi lorsqu'il s'agit de différentiation. Si la courbe,
lorsqu'il s'agit de sa rectification, est assimiléc à un polygone à une infinité dc
côtés, c'est ici un arc << infiniment petit )> de la courbe qui est assimilé à un scgment de droite ((infiniment petit )), soit la corde, soit un segment de la tangentc dont
l'existence est admise; ou bien encore c'est un intervalle de tcmps ((infiniment
petit )> qu'on considère, durant lequel (tant qu'il nc s'agit que de vitesse) lc
mouvemcnt <( est 1) uniforme; plus hardi encore, Descartes, voulant déterminer la
tangcntc à la cycloïde qui ne se prête pas à sa règle générale, c~ssimile des courbes
roulant l'une sur l'autre à des polygones, pour en déduire que << dans l'infiniment
petit )) le mouvement peut être assimilé à une rotation autour du point de contact
((X), t. II, p. 307-338). Ici encore, un Fermat, qui fait reposer sur de telles considérations infinitésimales ses règles pour les tangentes et pour les maxima et
minima, est en état de les justifier dans chaquc cas particulier ((XI 6) ; cf. aussi
(XI), t. II, passim, en particulier p. 154-162, et Supplément aux ûhvres (GauthierVillars, 1922), p. 72-86) ; Barrow donne pour une grande partie de ses tliéorèmes
l V . p. ex. l'exposé d e Pascal dans la lettre à M . de Carcavy s (XII b). O n notera que, grâce au
prestige d'une langue incomparable, Pascal arrive à créer l'illusion d e la parfaite clarté, au point que
l'un d e ses éditeurs modernes s'extasie sur (1 la minutie et la précision dans l'exactitude de la démonstration ))!
Mais, dans la Lettre à Mon5ieur A. D. D. S. : (1 . . . Jans m'arrêter, ni aux méthodes de5 mouvements, ni à
celles des indivisibles, mais en suivant celles des anciens, a$n que la chose pût être désormais ferme et sans dislute >>
((XII a ) , p. 256).
PONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
l'axe1; des raçons de parler analogues pourront être cmployées lorsclu'il s'agit de
décomposer une aire cn triangles par des droites concourantes, ou de raisonner
sur la longueur d'un arc dc courbe comme s'il s'agissait d'un polygone à une
infinité de côtés, etc. Il cst certain quc les rares matliémüticiens qui possédaient à
fond le maniement des méthodes d'Archimède, tels Fermat, Pascal, Huygens,
Barrow, ne pouvaient, dans chaque cas particulier, trouver aucune difficulté d
remplacer l'emploi de cc langage par des démonstrations rigourcuscs; aussi fontils fréquemment remarquer que ce langage n'est là que pour abréger. ((Il serait
aisé D, dit Fermat, (< de donner des démonstrations à la manière d'drchimdde;. . ., ce dont il
sufia d'avoir averti une fois pour toutes nJn d'éviter des répétiliow continuelleî. . . )) ((XI), t.
1, p. 257) ; de même Pascal: <( ainsi l'une de ces méthodes ne dzJdre de l'autre qu'en la
maniére de parler )) ((XII b), p. 352) 2 ; et Barrow, avec sa concision narquoise:
<< longior discursus apagogicus adhiberi possit, sed quorsud r> (on pourrait allonger par
un discours apagogique, mais à quoi bon?) ((XVIII), p. 251). Fermat se garde
même bien, scmble-t-il, d'avancer quoi que ce soit qu'il nc puisse justifier ainsi, et
se condamne par là à n'énoncer aucun résultat général quc par allusion ou sous
forme de <( métliode O ; Barrow, pourtant si soigncux, est quelque peu moins
scrupuleux. Quant à la plupart de leurs contemporains, on peut dirc à tout le
moins que la rigueur n'cst pas leur principal souci, et que le nom d'Archimède
n'est le plus souvent qu'un pavillon destiné à couvrir unc m a ~ h a n d i s c de grand
prix sans doute, mais dont Archimède n'eût certes pas assumé la responsabilité. A
plus forte raison en est-il ainsi lorsqu'il s'agit de différentiation. Si la courbe,
lorsqu'il s'agit de sa rectification, est assimiléc à un polygone à une infinité dc
côtés, c'est ici un arc << infiniment petit )> de la courbe qui est assimilé à un scgment de droite ((infiniment petit )), soit la corde, soit un segment de la tangentc dont
l'existence est admise; ou bien encore c'est un intervalle de tcmps ((infiniment
petit )> qu'on considère, durant lequel (tant qu'il nc s'agit que de vitesse) lc
mouvemcnt <( est 1) uniforme; plus hardi encore, Descartes, voulant déterminer la
tangcntc à la cycloïde qui ne se prête pas à sa règle générale, c~ssimile des courbes
roulant l'une sur l'autre à des polygones, pour en déduire que << dans l'infiniment
petit )) le mouvement peut être assimilé à une rotation autour du point de contact
((X), t. II, p. 307-338). Ici encore, un Fermat, qui fait reposer sur de telles considérations infinitésimales ses règles pour les tangentes et pour les maxima et
minima, est en état de les justifier dans chaquc cas particulier ((XI 6) ; cf. aussi
(XI), t. II, passim, en particulier p. 154-162, et Supplément aux ûhvres (GauthierVillars, 1922), p. 72-86) ; Barrow donne pour une grande partie de ses tliéorèmes
l V . p. ex. l'exposé d e Pascal dans la lettre à M . de Carcavy s (XII b). O n notera que, grâce au
prestige d'une langue incomparable, Pascal arrive à créer l'illusion d e la parfaite clarté, au point que
l'un d e ses éditeurs modernes s'extasie sur (1 la minutie et la précision dans l'exactitude de la démonstration ))!
Mais, dans la Lettre à Mon5ieur A. D. D. S. : (1 . . . Jans m'arrêter, ni aux méthodes de5 mouvements, ni à
celles des indivisibles, mais en suivant celles des anciens, a$n que la chose pût être désormais ferme et sans dislute >>
((XII a ) , p. 256).