NOTE HISTORIQUE
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d'où le nom de méthode (( apagogique ou (t par réduction à l'absurde D (((&xcrywyt
EES &~UVUTOV O) que lui donnent les savants du XVII" siècle. C'est sous une forme
analogue qu'est rédigée la détermination de la tangente à la spirale par Archimède ((II), t. II, p. 62-76), résultat isolé, et le seul que nous ayons à citer comme
source antique du (t calcul différentiel >) en dehors de la détermination relativement facile des tangentes aux coniques, et quelques problèmes de maxima et
minima. Si en effet, en ce qui concerne 1'(< intégration O, un champ de recherches
immense était offert aux mathématiciens grecs, non seulement par la théorie des
volumes, mais encore par la statique et l'hydrostatique, ils n'ont guère eu, faute
d'une cinématique, l'occasion d'aborder sérieusement la différentiation. Il est
vrai qu'Archimède donne une définition cinématique de sa spirale; et, faute de
savoir comment il a pu être conduit à la connaissance de sa tangente, on a le
droit de se demander s'il n'a pas eu quelque idée de la composition des mouvements. Mais en ce cas n'aurait-il pas appliqué une méthode si puissante à d'autres
problèmes du même genre? Il est plus vraisemblable qu'il a dû se servir de
quelque procédé heuristique de passage à la limite que les résultats connus de lui
sur les coniques pouvaient lui suggérer ; ceux-ci, bien entendu, sont de nature essentiellement plus simple, puisqu'on peut construire les points d'intersection d'une
droite et d'une conique, et par conséquent déterminer la condition de coïncidence
de ces points. Quant à la définition de la tangente, celle-ci est conçue comme une
droite qui, au voisinage d'un certain point de la courbe laisse la courbe tout
entière d'un même côté; l'existence en est admise, et il est admis aussi que toute
courbe se compose d'arcs convexes; dans ces conditions, pour démontrer qu'une
droite est tangente à une courbe, il faut démontrer certaines inégalités, ce qui
est fait bien entendu avec la plus complète précision.
Du point de vue de la rigueur, les méthodes d'Archimède ne laissent rien
à désirer; et, au xvne siècle encore, lorsque les mathématiciens les plus
scrupuleux veulent mettre entièrement hors de doute un résultat jugé particulièrement délicat, c'est une démonstration (( apagogique )> qu'ils en donnent
((XI a) et (XII a)). Quant à leur fécondité, l'œuvre d'Archimède en est un
suffisant témoignage. Mais pour qu'on ait le droit de voir là un (< calcul intégral O,
il faudrait y mettre en évidence, à travers la multiplicité des apparences géométriques, quelque ébauche de classificatioii des problèmes suivant la nature de
1 ' ~
intégrale O sous-jacente. Au xvne siècle, nous allons le voir, la recherche d'une
telle classification devient peu à peu l'un des principaux soucis des géomètres; si
l'on n'en trouve pas trace chez Arcliimède, n'est-ce pas un signe que de telles
spéculations lui seraient apparues comme exagérément <( abstraites )), et qu'il s'est
volontairement, au contraire, en chaque occasion, tenu le plus près possible des
propriétés spécifiques de la figure dont il poursuivait l'étude? Et ne devons-nous
pas conclure que cette œuvre admirable, d'où le calcul intégral, de l'aveu de ses
créateurs, est tout entier sorti, est en quelque façon à l'opposé du calcul intégral?
Ce n'est pas impunément, par ailleurs, qu'on peut, en mathématique, laisser
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d'où le nom de méthode (( apagogique ou (t par réduction à l'absurde D (((&xcrywyt
EES &~UVUTOV O) que lui donnent les savants du XVII" siècle. C'est sous une forme
analogue qu'est rédigée la détermination de la tangente à la spirale par Archimède ((II), t. II, p. 62-76), résultat isolé, et le seul que nous ayons à citer comme
source antique du (t calcul différentiel >) en dehors de la détermination relativement facile des tangentes aux coniques, et quelques problèmes de maxima et
minima. Si en effet, en ce qui concerne 1'(< intégration O, un champ de recherches
immense était offert aux mathématiciens grecs, non seulement par la théorie des
volumes, mais encore par la statique et l'hydrostatique, ils n'ont guère eu, faute
d'une cinématique, l'occasion d'aborder sérieusement la différentiation. Il est
vrai qu'Archimède donne une définition cinématique de sa spirale; et, faute de
savoir comment il a pu être conduit à la connaissance de sa tangente, on a le
droit de se demander s'il n'a pas eu quelque idée de la composition des mouvements. Mais en ce cas n'aurait-il pas appliqué une méthode si puissante à d'autres
problèmes du même genre? Il est plus vraisemblable qu'il a dû se servir de
quelque procédé heuristique de passage à la limite que les résultats connus de lui
sur les coniques pouvaient lui suggérer ; ceux-ci, bien entendu, sont de nature essentiellement plus simple, puisqu'on peut construire les points d'intersection d'une
droite et d'une conique, et par conséquent déterminer la condition de coïncidence
de ces points. Quant à la définition de la tangente, celle-ci est conçue comme une
droite qui, au voisinage d'un certain point de la courbe laisse la courbe tout
entière d'un même côté; l'existence en est admise, et il est admis aussi que toute
courbe se compose d'arcs convexes; dans ces conditions, pour démontrer qu'une
droite est tangente à une courbe, il faut démontrer certaines inégalités, ce qui
est fait bien entendu avec la plus complète précision.
Du point de vue de la rigueur, les méthodes d'Archimède ne laissent rien
à désirer; et, au xvne siècle encore, lorsque les mathématiciens les plus
scrupuleux veulent mettre entièrement hors de doute un résultat jugé particulièrement délicat, c'est une démonstration (( apagogique )> qu'ils en donnent
((XI a) et (XII a)). Quant à leur fécondité, l'œuvre d'Archimède en est un
suffisant témoignage. Mais pour qu'on ait le droit de voir là un (< calcul intégral O,
il faudrait y mettre en évidence, à travers la multiplicité des apparences géométriques, quelque ébauche de classificatioii des problèmes suivant la nature de
1 ' ~
intégrale O sous-jacente. Au xvne siècle, nous allons le voir, la recherche d'une
telle classification devient peu à peu l'un des principaux soucis des géomètres; si
l'on n'en trouve pas trace chez Arcliimède, n'est-ce pas un signe que de telles
spéculations lui seraient apparues comme exagérément <( abstraites )), et qu'il s'est
volontairement, au contraire, en chaque occasion, tenu le plus près possible des
propriétés spécifiques de la figure dont il poursuivait l'étude? Et ne devons-nous
pas conclure que cette œuvre admirable, d'où le calcul intégral, de l'aveu de ses
créateurs, est tout entier sorti, est en quelque façon à l'opposé du calcul intégral?
Ce n'est pas impunément, par ailleurs, qu'on peut, en mathématique, laisser