FVR 111.36
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
historien moderne; car de ce fait nous ignorons jusqu'à quel point il a pris conscience des liens de parenté qui unissent les divers problèmes dont il traite (liens
que nous exprimerions en disant que la même intégrale revient en maints endroits, sous des aspects géométriques variés), et quelle importance il a pu leur
attribuer. Par exemple, considérons les problèmes suivants, le premier résolu par
Eudoxe, les autres par Archimède : le volume de la pyramide, l'aire du segment de
parabole, le centre de gravité du triangle, et l'aire de la spirale dite d'Archimède
( p = cw en coordonnées polaires); ils dépendent tous de l'intégrale Sx2 dx, et,
sans s'écarter en rien de l'esprit de la méthode d'exhaustion, on peut tous les
ramener au calcul de (( sommes de Riemann s de la forme 2 an2. C'est ainsi en
effet qu'Archimède traite de la spirale ((II), t. II, p. 1-121), au moyen d'un
lemme qui revient à écrire
Quant au centre de gravité du triangle, il démontre (par exhaustion, au
moyen d'une décomposition en tranches parallèles) qu'il se trouve sur chacune des
médianes, donc à leur point de concours ((II), t. II, p. 261-315). Pour la parabole, il donne trois procédés: l'un, heuristique, destiné seulement à ((donner quelque
vraisemblance au résultat O, ramène le problème au centre de gravité du triangle, par
un raisonnement de statique au cours duquel il n'hésite pas à considérer le segment de parabole comme la somme d'une infinité de segments de droite parallèles
à l'axe ((II), t. II, p. 435-439); une autre méthode repose sur un principe
analogue, mais est rédigée en toute rigueur par exhaustion ((II), t. II, p. 261315) ; une dernière démonstration, extraordinairement ingénieuse mais de
moindre portée, donne l'aire cherchée comme somme d'une série géométrique
au moyen des propriétés particulières de la parabole. Rien n'indique une relation
entre ces problèmes et le volume de la pyramide; il est même spécifié ((II), t. II,
p. 8) que les problèmes relatifs à la spirale n'ont <( rien de commun avec certains
autres relatifs à la sphère et au paraboloïde de révolution, dont Archimède a eu
l'occasion de parler dans la même introduction et parmi lesquels il s'en trouve un
(le volume du paraboloïde) qui revient à l'intégrale x dx.
Comme on le voit sur ces exemples, et sauf emploi d'artifices particuliers, le
principe de l'exhaustion est le suivant: par une décomposition en (< sommes de
Riemann >), on obtient des bornes supérieure et inférieure pour la quantité
étudiée, bornes qu'on compare directement à l'expression annoncée pour cette
quantité, ou bien aux bornes correspondantes pour un problème analogue déjà
résolu. La comparaison (qui, faute de pouvoir employer les nombres négatifs, se
fait nécessairement en deux parties) est introduite par les paroles sacramentelles :
<( sinon, en effet, elle serait, ou plus grande, ou plus petite; supposons, s'il se peut,
qu'elle soit plus grande, etc.; supposons, s'il se peut, qu'elle soit plus petite, etc. D,
FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE
historien moderne; car de ce fait nous ignorons jusqu'à quel point il a pris conscience des liens de parenté qui unissent les divers problèmes dont il traite (liens
que nous exprimerions en disant que la même intégrale revient en maints endroits, sous des aspects géométriques variés), et quelle importance il a pu leur
attribuer. Par exemple, considérons les problèmes suivants, le premier résolu par
Eudoxe, les autres par Archimède : le volume de la pyramide, l'aire du segment de
parabole, le centre de gravité du triangle, et l'aire de la spirale dite d'Archimède
( p = cw en coordonnées polaires); ils dépendent tous de l'intégrale Sx2 dx, et,
sans s'écarter en rien de l'esprit de la méthode d'exhaustion, on peut tous les
ramener au calcul de (( sommes de Riemann s de la forme 2 an2. C'est ainsi en
effet qu'Archimède traite de la spirale ((II), t. II, p. 1-121), au moyen d'un
lemme qui revient à écrire
Quant au centre de gravité du triangle, il démontre (par exhaustion, au
moyen d'une décomposition en tranches parallèles) qu'il se trouve sur chacune des
médianes, donc à leur point de concours ((II), t. II, p. 261-315). Pour la parabole, il donne trois procédés: l'un, heuristique, destiné seulement à ((donner quelque
vraisemblance au résultat O, ramène le problème au centre de gravité du triangle, par
un raisonnement de statique au cours duquel il n'hésite pas à considérer le segment de parabole comme la somme d'une infinité de segments de droite parallèles
à l'axe ((II), t. II, p. 435-439); une autre méthode repose sur un principe
analogue, mais est rédigée en toute rigueur par exhaustion ((II), t. II, p. 261315) ; une dernière démonstration, extraordinairement ingénieuse mais de
moindre portée, donne l'aire cherchée comme somme d'une série géométrique
au moyen des propriétés particulières de la parabole. Rien n'indique une relation
entre ces problèmes et le volume de la pyramide; il est même spécifié ((II), t. II,
p. 8) que les problèmes relatifs à la spirale n'ont <( rien de commun avec certains
autres relatifs à la sphère et au paraboloïde de révolution, dont Archimède a eu
l'occasion de parler dans la même introduction et parmi lesquels il s'en trouve un
(le volume du paraboloïde) qui revient à l'intégrale x dx.
Comme on le voit sur ces exemples, et sauf emploi d'artifices particuliers, le
principe de l'exhaustion est le suivant: par une décomposition en (< sommes de
Riemann >), on obtient des bornes supérieure et inférieure pour la quantité
étudiée, bornes qu'on compare directement à l'expression annoncée pour cette
quantité, ou bien aux bornes correspondantes pour un problème analogue déjà
résolu. La comparaison (qui, faute de pouvoir employer les nombres négatifs, se
fait nécessairement en deux parties) est introduite par les paroles sacramentelles :
<( sinon, en effet, elle serait, ou plus grande, ou plus petite; supposons, s'il se peut,
qu'elle soit plus grande, etc.; supposons, s'il se peut, qu'elle soit plus petite, etc. D,