FVR 111.34
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
§ 2
c) Pour tout m E Z , , montrer que la fonction continue x H xm, définie dans 1 + #, admet
une dérivée égale à mxm - l (utiliser b) et l'exerc. 7 e)).
d) Montrer que pour tout m E 2, et tout x E j~ si p # 2 (x E b2 si p = 2) la série de terme général
(r) xn est convergente et que sa somme est fonction continue de m ; en déduire que cette
. ,
somme est égale à (1 + x ) ~
en remarquant que Z est partout dense dans Z,.
7 9) Avec les notations de l'exerc. 7), on désigne par 0 2 (Q,) (groupe des rotations de l'espace Q;) le groupe des matrices de la forme
à éléments dans Q,, tels que x2 + y2 = 1, ce groupe étant muni de la topologie définie dans
TG, VIII, p. 27, exerc. 2.
a) O n désigne par G, le sous-groupe de O,+ (Q,) formé des matrices telles que t =
y/(l + x) E bn. Montrer que G, est un groupe compact, que G,/G,,+l est isomorphe à Z/pZ, et
que les seuls sous-groupes compacts de G1 sont les groupes G, (cf. TG, III, p. 84, exerc. 24).
b ) Montrer que Gl est identique au sous-groupe des matrices
tellesquex2 + y2 = 1 , x ~
1 + b 2 e t y ~ $ s i p # 2 , x ~ 1 + b 3 e t y ~ b 2 s i p = 2.
c ) Montrer que les séries de terme général ( - l)nx2n/(2n) ! et ( - l)n-1x2n+1/(2n + 1) ! sont
convergentes pour tout x E b si p # 2, pour tout x E b2 si p = 2; soient cos x et sin x les
sommes de ces séries. Montrer que l'application
-sin 'Osx x cos x
est un isomorphisme du groupe topologique additif # (resp. b2) sur le groupe G,.
d) Sip est de la forme 4h + 1 ( h entier), il existe dans Q, un élément i tel que i2 = - 1. Si à
tout z E QP on fait correspondre la matrice
on définit un isomorphisme du groupe multiplicatif Q*, sur le groupe O,+ (4,) ; au groupe
1 + # correspond par cet isomorphisme le groupe G,, et on a cospx + i sinpx = ep (III,
p. 33, exerc. 8).
e) Si p est de la forme 4h + 3 (h entier), les matrices de O,+ (Q,) ont nécessairement leurs
éléments entiers p-adiques. Le polynôme X2 + 1 est alors irréductible dans Q,; soit Qp(i)
l'extension quadratique de Q, obtenu par adjonction d'une racine i de X2 + 1 ; on munit
Q,(i) de la topologie définie dans TG, VIII, p. 27, exerc. 2. Le groupe 0 2 (Q,) est isomorphe
a u groupe multiplicatif N des éléments de Q,(i) de norme 1, par l'isomorphisme qui à la matrice
(-t : ) fait correspondre l'élément z = x + iy. Montrer que, dans Q,(i), il existe p + 1
. < ,
racines de l'équation xP+l = 1, qui forment un sous-groupe cyclique R de N (raisonner
comme dans TG, III, p. 84, exerc. 24: montrer d'abord qu'il existe, dans Q,(i), p + 1
racines distinctes de la congruence xp+l E 1 (modp) et, pour chaque racine a de cette congruence, former la suite ( a p z n ) ) . En déduire que le groupe 0 2 (Q,) est isomorphe auproduit
des groupes R et Cl.
f ) Montrer que, pour j~ = 2, le groupe 0 2 (Q,) est isomorphe au produit du groupe G1 et
d'un groupe cyclique d'ordre 4.
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
§ 2
c) Pour tout m E Z , , montrer que la fonction continue x H xm, définie dans 1 + #, admet
une dérivée égale à mxm - l (utiliser b) et l'exerc. 7 e)).
d) Montrer que pour tout m E 2, et tout x E j~ si p # 2 (x E b2 si p = 2) la série de terme général
(r) xn est convergente et que sa somme est fonction continue de m ; en déduire que cette
. ,
somme est égale à (1 + x ) ~
en remarquant que Z est partout dense dans Z,.
7 9) Avec les notations de l'exerc. 7), on désigne par 0 2 (Q,) (groupe des rotations de l'espace Q;) le groupe des matrices de la forme
à éléments dans Q,, tels que x2 + y2 = 1, ce groupe étant muni de la topologie définie dans
TG, VIII, p. 27, exerc. 2.
a) O n désigne par G, le sous-groupe de O,+ (Q,) formé des matrices telles que t =
y/(l + x) E bn. Montrer que G, est un groupe compact, que G,/G,,+l est isomorphe à Z/pZ, et
que les seuls sous-groupes compacts de G1 sont les groupes G, (cf. TG, III, p. 84, exerc. 24).
b ) Montrer que Gl est identique au sous-groupe des matrices
tellesquex2 + y2 = 1 , x ~
1 + b 2 e t y ~ $ s i p # 2 , x ~ 1 + b 3 e t y ~ b 2 s i p = 2.
c ) Montrer que les séries de terme général ( - l)nx2n/(2n) ! et ( - l)n-1x2n+1/(2n + 1) ! sont
convergentes pour tout x E b si p # 2, pour tout x E b2 si p = 2; soient cos x et sin x les
sommes de ces séries. Montrer que l'application
-sin 'Osx x cos x
est un isomorphisme du groupe topologique additif # (resp. b2) sur le groupe G,.
d) Sip est de la forme 4h + 1 ( h entier), il existe dans Q, un élément i tel que i2 = - 1. Si à
tout z E QP on fait correspondre la matrice
on définit un isomorphisme du groupe multiplicatif Q*, sur le groupe O,+ (4,) ; au groupe
1 + # correspond par cet isomorphisme le groupe G,, et on a cospx + i sinpx = ep (III,
p. 33, exerc. 8).
e) Si p est de la forme 4h + 3 (h entier), les matrices de O,+ (Q,) ont nécessairement leurs
éléments entiers p-adiques. Le polynôme X2 + 1 est alors irréductible dans Q,; soit Qp(i)
l'extension quadratique de Q, obtenu par adjonction d'une racine i de X2 + 1 ; on munit
Q,(i) de la topologie définie dans TG, VIII, p. 27, exerc. 2. Le groupe 0 2 (Q,) est isomorphe
a u groupe multiplicatif N des éléments de Q,(i) de norme 1, par l'isomorphisme qui à la matrice
(-t : ) fait correspondre l'élément z = x + iy. Montrer que, dans Q,(i), il existe p + 1
. < ,
racines de l'équation xP+l = 1, qui forment un sous-groupe cyclique R de N (raisonner
comme dans TG, III, p. 84, exerc. 24: montrer d'abord qu'il existe, dans Q,(i), p + 1
racines distinctes de la congruence xp+l E 1 (modp) et, pour chaque racine a de cette congruence, former la suite ( a p z n ) ) . En déduire que le groupe 0 2 (Q,) est isomorphe auproduit
des groupes R et Cl.
f ) Montrer que, pour j~ = 2, le groupe 0 2 (Q,) est isomorphe au produit du groupe G1 et
d'un groupe cyclique d'ordre 4.