5 z !
EXERCICES
FVR 111.33
où on a posé m = [pl (partie entière de p) et
@(fi - 1) ...(fi - m + 1)
h, =
(m - l)!
7 5) Montrer que TC est irrationnel, de la façon suivante: si on avait x = p/q (p et q entiers),
en posant f (x) = (x(x - ~ ) ) ~ / n !
l'intégrale qn jt f (x) sin x dx serait un entier > O (utiliser
la formule d'intégration par parties d'ordre n + 1); mais montrer d'autre part que
qn f (x) sin x dx tend vers O lorsque n tend vers + CO.
6) Montrer que dans l'intervalle (- 1, + l), la fonction 1x1 est limite uniforme de polynômes,
en remarquant que 1x1 = (1 - (1 - x2))lI2 et utilisant la série du binôme. En déduire une
nouvelle démonstration du th. de Weierstrass (cf. II, p. 32, exerc. 20).
7 7) Soientp un nombre premier, Q, le corps des nombresp-adiques (TG, III, p. 84, exerc.
23 à 25), Z, l'anneau des entiersp-adiques, & l'idéal principal (fi) dans Z,.
a) Soit a = 1 + $6, où b E Z, est un un élément du groupe multiplicatif 1 + &; montrer que
lorsque l'entier rationnel m augmente indéfiniment, le nombre p-adique
(1 + pb)pm - 1
Pm
tend vers une limite égale à la somme de la série convergente
On désignera cette limite par log a.
aX - 1
b) Montrer que, lorsque le nombre p-adique x tend vers O dans Q,, le nombre - tend
X
vers log a (utiliser a) et la définition de la topologie de Q,).
c ) Montrer que, si p # 2, on a log a = pb (mod. b2), et si = 2, log a r O (mod. b2), et
log a = - 4b4 (mod. b3).
d) Montrer que, si p # 2 (resp. p = 2), x H log x est un isomorphisme du groupe topologique
multiplicatif 1 + & sur le groupe topologique additif & (resp. b2) ; en particulier, si e, est
l'élément de 1 + tel que log e, = (resp. log e, = 4), l'isomorphisme de Z, sur 1 + &,
1
réciproque de x H 1 log x (resp. x » $ log x) est y H ep (cf. TG, III, p. 84, exerc. 25).
h
ir
e) Montrer que pour tout a E 1 f &, la fonction continue x n aX, définie dans Z,, admet en
tout point une dérivée égale à ax log a; en déduire que la fonction log x admet en tout point
de 1 + & une dérivée égale à llx.
7 8) a) Avec les notations de l'exerc. 7, montrer que la série de terme général xn/n! est
convergente pour tout x E t) si p # 2, pour tout x E b2 (mais pour aucun x 6 b2) si p = 2,
pour tout x E Pz (mais pour aucun x 4 b2) si p = 2 (déterminer l'exposant de p dans la
décomposition de n! en facteurs premiers). Si f (x) est la somme de cette série, montrer que f
est un homomorphisme continu de b (resp. b2) dans 1 + b2. En déduire que l'on a, pour tout
z E ZP, f (pz) = e; (resp. f (p2z) = eg), autrement dit, que
(utiliser l'exerc. 7 e)).
b) Pour tout a E 1 + & et tout x E Z,, montrer que log(ax) = x log a, et déduire de a) et de
l'exerc. 7 d) que l'on a
x log a
x2(log a)2
+--+ . . . xn(log a)"
a x = l + -
2 !
+. --J+ " '
l !
EXERCICES
FVR 111.33
où on a posé m = [pl (partie entière de p) et
@(fi - 1) ...(fi - m + 1)
h, =
(m - l)!
7 5) Montrer que TC est irrationnel, de la façon suivante: si on avait x = p/q (p et q entiers),
en posant f (x) = (x(x - ~ ) ) ~ / n !
l'intégrale qn jt f (x) sin x dx serait un entier > O (utiliser
la formule d'intégration par parties d'ordre n + 1); mais montrer d'autre part que
qn f (x) sin x dx tend vers O lorsque n tend vers + CO.
6) Montrer que dans l'intervalle (- 1, + l), la fonction 1x1 est limite uniforme de polynômes,
en remarquant que 1x1 = (1 - (1 - x2))lI2 et utilisant la série du binôme. En déduire une
nouvelle démonstration du th. de Weierstrass (cf. II, p. 32, exerc. 20).
7 7) Soientp un nombre premier, Q, le corps des nombresp-adiques (TG, III, p. 84, exerc.
23 à 25), Z, l'anneau des entiersp-adiques, & l'idéal principal (fi) dans Z,.
a) Soit a = 1 + $6, où b E Z, est un un élément du groupe multiplicatif 1 + &; montrer que
lorsque l'entier rationnel m augmente indéfiniment, le nombre p-adique
(1 + pb)pm - 1
Pm
tend vers une limite égale à la somme de la série convergente
On désignera cette limite par log a.
aX - 1
b) Montrer que, lorsque le nombre p-adique x tend vers O dans Q,, le nombre - tend
X
vers log a (utiliser a) et la définition de la topologie de Q,).
c ) Montrer que, si p # 2, on a log a = pb (mod. b2), et si = 2, log a r O (mod. b2), et
log a = - 4b4 (mod. b3).
d) Montrer que, si p # 2 (resp. p = 2), x H log x est un isomorphisme du groupe topologique
multiplicatif 1 + & sur le groupe topologique additif & (resp. b2) ; en particulier, si e, est
l'élément de 1 + tel que log e, = (resp. log e, = 4), l'isomorphisme de Z, sur 1 + &,
1
réciproque de x H 1 log x (resp. x » $ log x) est y H ep (cf. TG, III, p. 84, exerc. 25).
h
ir
e) Montrer que pour tout a E 1 f &, la fonction continue x n aX, définie dans Z,, admet en
tout point une dérivée égale à ax log a; en déduire que la fonction log x admet en tout point
de 1 + & une dérivée égale à llx.
7 8) a) Avec les notations de l'exerc. 7, montrer que la série de terme général xn/n! est
convergente pour tout x E t) si p # 2, pour tout x E b2 (mais pour aucun x 6 b2) si p = 2,
pour tout x E Pz (mais pour aucun x 4 b2) si p = 2 (déterminer l'exposant de p dans la
décomposition de n! en facteurs premiers). Si f (x) est la somme de cette série, montrer que f
est un homomorphisme continu de b (resp. b2) dans 1 + b2. En déduire que l'on a, pour tout
z E ZP, f (pz) = e; (resp. f (p2z) = eg), autrement dit, que
(utiliser l'exerc. 7 e)).
b) Pour tout a E 1 + & et tout x E Z,, montrer que log(ax) = x log a, et déduire de a) et de
l'exerc. 7 d) que l'on a
x log a
x2(log a)2
+--+ . . . xn(log a)"
a x = l + -
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