FVR 111.32
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
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38) Soit f une fonction vectorielle réglée pour x 3 O, continue au point x = O et telle que
l'intégrale
f (x) dx/x soit convergente pour a > O. Montrer que pour a > O et b > 0,
l'intégrale J i
- * (bX) dx est convergente et égale à f (O) log a/b.
O
x
39) Soient m une fonction convexe dans (O, + CO(, telle que m(0) = 0, etp un nombre tel que
- 1 < p < +CO. Montrer que si l'intégrale Siw xp exp(-ma(x)) dx est convergente, il en
est de même de l'intégrale J": xp exp( - m(x)/x) dx, et l'on a
(Pour k > 1 et A > O, remarquer que m(kx) m(x) + (k - I)xmA(x), et en déduire
l'inégalité
Majorer la seconde intégrale à l'aide de l'inégalité de Holder (II, p. 24, exerc. 3) puis faire
tendre A vers + CO et k vers 1.)
§ 2
1) Soit f une fonction vectorielle n fois dérivable dans un intervalle 1 c R. Démontrer la
formule
en tout point x tel que ex E 1, le cofficient am ayant pour expression
(méthode de 1, p. 47, exerc. 7, en utilisant le développement de Taylor de ex).
2) Soient f une fonction numérique n fois dérivable au point x, g une fonction vectorielle n
n
fois ddrivable au point f (x). Si l'on pose Dn(g( f (x))) =
d k ) ( f (x)) uk(x), uk ne dépend
que de la fonctionf; en déduire que uk(x) est le coefficient de tk dans le développement
(par rapport à t ) de e-tf(x) Dn(etf(x)).
3) Pour tout x del > O et tout m I . y + iv complexe, on pose xm = emlogx; montrer que la
formule (19) de III, p. 18, est encore valable pour m complexe et x > - 1, et que le reste
rn(x) de cette formule satisfait aux inégalités
Généraliser l'étude de la convergence de la série de binôme au cas où m est complexe.
4) Pour tout x réel et tout nombrep > 1 démontrer l'inégalité