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EXERCICES
FVR 111.31
Retrouver à l'aide de cette formule la formule (29) de III, p. 10 et démontrer la formule
2.4.6 ... 2n
sinZn+l x dx =
(n entier 3 0).
1.3.5 ...( 2n + 1)
32) Démontrer la formule de Wallis
1
2.4.6.. .2n
lim -
= dn
n + m I i ' 1 . 3 . 5 . . .(2n - 1)
en utilisant l'exerc. 3 1 et l'inégalité sinn + x < sinn x pour O d x d x/2.
33) a) Calculer les intégrales
pour n entier > 0, à l'aide de l'exerc. 3 1.
b) Montrer que l'on a
1 - 2 2 < 8-x2 pour O < x < 1
e-x2 < - pour x 2 0.
1 + x2
c) Déduire de a) et b) et de la formule de Wallis (exerc. 32) que
34) a) Montrer que pour a > O, la dérivée de
+
sin x
i(a) = Io .-Ex- x d~
est égale à -JO+" eWuX sin x dx.
J O + "
Tc
b) En déduire que
dx = -. 2
35) Démontrer, par dérivation par rapport au paramètre, et utilisation de I'exerc. 33 c), les
formules
[o'mexp(-x2
- $)dX = f i e - 2 u (a > O).
2
36) Déduire de l'exerc. 33 c) ci-dessus et de II, p. 36, exerc. 9, que l'on a
JO+ "
'J" .
sin x2 dx = - 2 ' 2
37) Soit f une fonction vectorielle réglée dans 10, l(, telle que i'intégrale
f (sin x) dx soit
convergente. Montrer que l'intégrale j : xf (sin x ) dx est convergente et que l'on a
Ion x f (sin x) dx = - f (sin x) dx.
y JOZ