FVR 111.30
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
3 1
6) Soit a E F tel qu'il existe des éléments u, (1 < j < m) et u d'une extension élémentaire
F' de F, et des constantes y, E C (1 < j < m) tels que l'on ait
Montrer alors qu'il existe des éléments f j (1 1 j < fi) et g de F et des constantes E C
(1 < j < fi) tels que l'on ait
(Se ramener par récurrence sur le nombre n dans la suite (1) au cas où F' = F(t). En modifiant les uj, montrer d'abord qu'on peut supposer les yj linéairement indépendants sur Q.
Lorsque t est transcendant sur F, utiliser l'exerc. 27: si t' = s'/s avec s E F, on a nécessairement u, E F et c E F[t]; en utilisant (*) et raissonant par l'absurde, montrer qu'on on a
nécessairement u = ut + 6 avec E. C et b E F. Si t'lt = r' avec r E F, montrer qu'en
remplaçant v par u + k . r pour un entier k E Z convenable, on peut encore supposer que
u, E F, u E F[t]; montrer par l'absurde que u est de degré 0, donc u E F. Enfin, si t est algébrique sur F, plonger F' dans une extension galoisienne K de F et considérer les transformés de
(*) par le groupe de Galois de K sur F.),
* 29) Soient f et g deux fonctions rationnelles de z (éléments de C(z)). Montrer que, pour
que la primitive J" f (z)eg(~) dz soit une fonction élémentaire (exerc. 28), il faut et il suffit qu'il
existe une fonction rationnelle r E C(z) telle que f = r' + rg'. (Poser t = eg et considérer le
corps différentiel F = C(z, t), extension élémentaire de C(z), puisque t'lt = g'. Montrer
d'abord que t est transcendant sur C(z) : en raisonnant par l'absurde, considérer une extension
galoisienne K de C(z) contenant t, et les transformés de l'équation t'lt = g' par le groupe de
Galois de K ; on obtiendrait une équation g' = u'lu avec u E C(z), et il est impossible que
gr n'ait que des pôles simples dans C. Appliquant l'exerc. 28, on aj? = 2 y 6 + u', avec
Uf
yj E C, les u, et u dans F; on peut se ramener au cas où les y, sont linéairement independants
sur Q. Appliquant ensuite l'exerc. 27 à l'extension C(z)(t), montrer que l'on a,ft = vu' + h,
avec h E C(z) et v E C(z)[t]. En conclure que u est nécessairement de degré 1 en t, et par
suite que f est égal au coefficient de t dans v'.)
En déduire que les primitives ez2 dx et J" eZ dzjz ne sont pas des fonctions élémentaires
(théorème de Liouuille), en examinant dans la relation f = r' - rg' l'allure des deux membres au
voisinage d'un pôle de r.,
30) a) Si m et n sont deux entiers tels que O < m < n, démontrer, la formule
X
mn
n sin - n
b) Montrer que, pour O < a < 1, l'intégrale
dx est uniformément convergente,
" -
pour a variant dans un intervalle compact, et déduire de a) que
31) Si 1,. est une primitive de sinm x cosn x (m et n nombres réels quelconqucs), montrer que,
s i m + n + Z # O
s ~ ~ ~ + ~ x c o s ~ + ~ x
m + l
Im+,.n = -
+ ----m + n + 2
m + n + 2 1 m , "
est une primitive de sinm+ x COS
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
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6) Soit a E F tel qu'il existe des éléments u, (1 < j < m) et u d'une extension élémentaire
F' de F, et des constantes y, E C (1 < j < m) tels que l'on ait
Montrer alors qu'il existe des éléments f j (1 1 j < fi) et g de F et des constantes E C
(1 < j < fi) tels que l'on ait
(Se ramener par récurrence sur le nombre n dans la suite (1) au cas où F' = F(t). En modifiant les uj, montrer d'abord qu'on peut supposer les yj linéairement indépendants sur Q.
Lorsque t est transcendant sur F, utiliser l'exerc. 27: si t' = s'/s avec s E F, on a nécessairement u, E F et c E F[t]; en utilisant (*) et raissonant par l'absurde, montrer qu'on on a
nécessairement u = ut + 6 avec E. C et b E F. Si t'lt = r' avec r E F, montrer qu'en
remplaçant v par u + k . r pour un entier k E Z convenable, on peut encore supposer que
u, E F, u E F[t]; montrer par l'absurde que u est de degré 0, donc u E F. Enfin, si t est algébrique sur F, plonger F' dans une extension galoisienne K de F et considérer les transformés de
(*) par le groupe de Galois de K sur F.),
* 29) Soient f et g deux fonctions rationnelles de z (éléments de C(z)). Montrer que, pour
que la primitive J" f (z)eg(~) dz soit une fonction élémentaire (exerc. 28), il faut et il suffit qu'il
existe une fonction rationnelle r E C(z) telle que f = r' + rg'. (Poser t = eg et considérer le
corps différentiel F = C(z, t), extension élémentaire de C(z), puisque t'lt = g'. Montrer
d'abord que t est transcendant sur C(z) : en raisonnant par l'absurde, considérer une extension
galoisienne K de C(z) contenant t, et les transformés de l'équation t'lt = g' par le groupe de
Galois de K ; on obtiendrait une équation g' = u'lu avec u E C(z), et il est impossible que
gr n'ait que des pôles simples dans C. Appliquant l'exerc. 28, on aj? = 2 y 6 + u', avec
Uf
yj E C, les u, et u dans F; on peut se ramener au cas où les y, sont linéairement independants
sur Q. Appliquant ensuite l'exerc. 27 à l'extension C(z)(t), montrer que l'on a,ft = vu' + h,
avec h E C(z) et v E C(z)[t]. En conclure que u est nécessairement de degré 1 en t, et par
suite que f est égal au coefficient de t dans v'.)
En déduire que les primitives ez2 dx et J" eZ dzjz ne sont pas des fonctions élémentaires
(théorème de Liouuille), en examinant dans la relation f = r' - rg' l'allure des deux membres au
voisinage d'un pôle de r.,
30) a) Si m et n sont deux entiers tels que O < m < n, démontrer, la formule
X
mn
n sin - n
b) Montrer que, pour O < a < 1, l'intégrale
dx est uniformément convergente,
" -
pour a variant dans un intervalle compact, et déduire de a) que
31) Si 1,. est une primitive de sinm x cosn x (m et n nombres réels quelconqucs), montrer que,
s i m + n + Z # O
s ~ ~ ~ + ~ x c o s ~ + ~ x
m + l
Im+,.n = -
+ ----m + n + 2
m + n + 2 1 m , "
est une primitive de sinm+ x COS