S I
EXERCICES
FVR 111.29
b) Pour toute fonction a E M(A), montrer qu'il existe un disque ouvert Az c A tel qu'il
existe une fonction g E M(A,) vérifiant la relation g'(z) = a(z) en tout point z E Az où g et a
sont holomorphes. Si F est un sous-corps de M(A) contenant a, on dit que le sous-corps
F(g) de M(A,) engendré par g et les restrictions à A, des fonctions de F est le corps obtenu
par adjonction à F de laprimitive f a dz. Si F est différentiel, il en est de même de F(g).
c) Pour toute fonction b E M(A), montrer qu'il existe un disque ouvert A3 c A tel qu'il
existe h E M(A,) vérifiant la relation hf(z) = b(z)h(z) en tout point z E A, où h et b sont
holomorphes et f O. Si F est un sous-corps de M(A) contenant b, on dit que le sous-corps
F(h) de M(A3) engendré par h et les restrictions à A3 des fonctions de F est le corps obtenu
par adjonction à F de l'exponentielle de primitive exp(J b dx). Si F est différentiel, il en est de même
de F(h).
d) Pour tout sous-corps F de M(A) et tout polynôme P(X) = Xm + alXm-1 + . . . + am à
coefficients dans F, il existe un corps K obtenu par adjonction successive à F de
racines de polynômes, tel que K soit une extension galoisienne de F et qu'on ait P(X) =
( X - cl). . . (X - cm) où les c, sont des fonctions méromorphes (dans un disque convenable)
appartenant à K. Si F est différentiel, on a (5.g)' = 5.g' pour tout g E K et tout élément 5
du groupe de Galois de K sur F.,
* 26) a) Soit F c M(A) un corps différentiel, et soit K une extension galoisienne finie de F,
sous-corps d'un M(Al). Soit t une primitive ou une exponentielle de primitive d'une fonction de F; montrer que si t est transcendant sur F, il n'existe aucune fonction u E K telle que
t' = u' . (Considérer séparément les deux cas t' = a E F ou t' = bt avec b E F; obtenir une
contradiction en considérant les transformés 5. u de 21 par le groupe de Galois de K sur F et
leurs dérivées o.uf; dans le premier cas, montrer que l'on aurait t' E c' pour un c E F et dans
le second cas, en posant N = [K:F], (tN/c)' = O pour un c E F.)
b) Supposons que t soit transcendant sur F et que t' = bt avec b E F; montrer qu'il n'existe
aucun c f O dans K tel que (ctm)' = O (même méthode)..
* 27) Soient F c M(A) un corps différentiel contenant C, t une primitive ou exponentielle
de primitive d'une fonction de F, et supposons t transcendant sur F. D'autre part, soient
cl, . . ., c, des éléments de F linéairement indépendants sur le corps des nombres rationnels
Q; si alors ul, . . ., un et v sont des éléments du corps F(t), et si
appartient à l'anneau F[t], on a nécessairement u E F[t]. En outre, si t E F, on a nécessairement u, E F pour 1 < j < n; si t'lt E F, il existe pour chaque j un entier v, > O tel que
ui/tVi E F. (Décomposer les u;/u, et v en éléments simples dans une extension galoisienne
convenable de F et utiliser I'exerc. 26.)*
* 28) a) Soit F c M(A) un corps différentiel. On dit qu'un corps Ff 3 F est une extension
élémentaire de F s'il existe une suite finie
telle que pour tout j < n - 1, on ait FI+, = Fj(tj), où l'on a, ou bien t; = aj/a, pour un
a, f O dans F, (de sorte que l'on peut écrire tj = log a,, ou bien tilt, = a; pour un ai E Fi
(de sorte que t, = exp (aj)). Une fonction élémentaire est une fonction qui appartient à une
extension élémentaire de C(z) (corps des fonctions rationnelles sur C).
Par exemple, les fonctions
sont des fonctions élkmentaires,
EXERCICES
FVR 111.29
b) Pour toute fonction a E M(A), montrer qu'il existe un disque ouvert Az c A tel qu'il
existe une fonction g E M(A,) vérifiant la relation g'(z) = a(z) en tout point z E Az où g et a
sont holomorphes. Si F est un sous-corps de M(A) contenant a, on dit que le sous-corps
F(g) de M(A,) engendré par g et les restrictions à A, des fonctions de F est le corps obtenu
par adjonction à F de laprimitive f a dz. Si F est différentiel, il en est de même de F(g).
c) Pour toute fonction b E M(A), montrer qu'il existe un disque ouvert A3 c A tel qu'il
existe h E M(A,) vérifiant la relation hf(z) = b(z)h(z) en tout point z E A, où h et b sont
holomorphes et f O. Si F est un sous-corps de M(A) contenant b, on dit que le sous-corps
F(h) de M(A3) engendré par h et les restrictions à A3 des fonctions de F est le corps obtenu
par adjonction à F de l'exponentielle de primitive exp(J b dx). Si F est différentiel, il en est de même
de F(h).
d) Pour tout sous-corps F de M(A) et tout polynôme P(X) = Xm + alXm-1 + . . . + am à
coefficients dans F, il existe un corps K obtenu par adjonction successive à F de
racines de polynômes, tel que K soit une extension galoisienne de F et qu'on ait P(X) =
( X - cl). . . (X - cm) où les c, sont des fonctions méromorphes (dans un disque convenable)
appartenant à K. Si F est différentiel, on a (5.g)' = 5.g' pour tout g E K et tout élément 5
du groupe de Galois de K sur F.,
* 26) a) Soit F c M(A) un corps différentiel, et soit K une extension galoisienne finie de F,
sous-corps d'un M(Al). Soit t une primitive ou une exponentielle de primitive d'une fonction de F; montrer que si t est transcendant sur F, il n'existe aucune fonction u E K telle que
t' = u' . (Considérer séparément les deux cas t' = a E F ou t' = bt avec b E F; obtenir une
contradiction en considérant les transformés 5. u de 21 par le groupe de Galois de K sur F et
leurs dérivées o.uf; dans le premier cas, montrer que l'on aurait t' E c' pour un c E F et dans
le second cas, en posant N = [K:F], (tN/c)' = O pour un c E F.)
b) Supposons que t soit transcendant sur F et que t' = bt avec b E F; montrer qu'il n'existe
aucun c f O dans K tel que (ctm)' = O (même méthode)..
* 27) Soient F c M(A) un corps différentiel contenant C, t une primitive ou exponentielle
de primitive d'une fonction de F, et supposons t transcendant sur F. D'autre part, soient
cl, . . ., c, des éléments de F linéairement indépendants sur le corps des nombres rationnels
Q; si alors ul, . . ., un et v sont des éléments du corps F(t), et si
appartient à l'anneau F[t], on a nécessairement u E F[t]. En outre, si t E F, on a nécessairement u, E F pour 1 < j < n; si t'lt E F, il existe pour chaque j un entier v, > O tel que
ui/tVi E F. (Décomposer les u;/u, et v en éléments simples dans une extension galoisienne
convenable de F et utiliser I'exerc. 26.)*
* 28) a) Soit F c M(A) un corps différentiel. On dit qu'un corps Ff 3 F est une extension
élémentaire de F s'il existe une suite finie
telle que pour tout j < n - 1, on ait FI+, = Fj(tj), où l'on a, ou bien t; = aj/a, pour un
a, f O dans F, (de sorte que l'on peut écrire tj = log a,, ou bien tilt, = a; pour un ai E Fi
(de sorte que t, = exp (aj)). Une fonction élémentaire est une fonction qui appartient à une
extension élémentaire de C(z) (corps des fonctions rationnelles sur C).
Par exemple, les fonctions
sont des fonctions élkmentaires,