FVR 111.28
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
3 1
'/[ 19) On sait (A, IX, 8 10, exerc. 2) que, dans le plan compbxe C2, le groupe des angles de
droites pointées A est isomorphe au groupe orthogonal O,(@), l'isomorphisme canonique
faisant correspondre à l'angle 0 la rotation d'angle 0; on transporte au groupe A la topologie
de Oz(C) (considéré comme sous-espace de l'espace M2(C) des matrices d'ordre 2 sur C)
par cet isomorphisme, ce qui fait de A un groupe topologique localement compact; en outre
l'application 6 H cos 6 + i sin 8 est un isomorphisme du groupe topologique A sur le groupe
multiplicatif C* des nombres complexes # 0, l'isomorphisme réciproque étant défini par
I
les formules cos 0 = &(z + l/z), sin 0 = - (z - 112). Déduire de ces relations que tout
2 i
homomorphisme continu z H y(z) du groupe additif @ sur A, tel que les fonctions complexes
cos y (z), sin
20) Soit D la partie de C réunion de l'ensemble défini par - n < 9 ( z ) < n, 3 ( z ) > O, et
du segment 3 ( z ) = 0, O
W(z) < x. Montrer que la restriction de la fonction cos z à D
est une bijection de D sur C; la restriction de cos z à l'intérieur de D est un homéomorphisme de cet ensemble ouvert sur le complémentaire, dans @, de la demi-droite y = O, x d 1.
21) Soient f et g deux polynômes (à coefficients complexes) premiers entre eux, le degré de f
étant strictement inférieur à celui de g. Soient p le p.g.c.d. de g et de sa dérivée g' , q le
quotient de g par p; montrer qu'il existe deux polynômes u, v uniquement déterminés, de
degrés respectifs strictement inférieurs à ceux dep et q, et tels que
En déduire que les coefficients de u et v appartiennent au plus petit corps (sur Q) contenant les coefficients de f et g et contenu dans C.
22) Soient f et g deux polynômes (à coefficients complexes) premiers entre eux, f étant de
degré strictement inférieur à celui de g. Soit K un sous-corps de C contenant les coefficients
de f et de g, et tel que g soit irréductible sur K. Pour qu'il existe une primitive de f/g de la
forme Cai log ut, où les a, sont des constantes appartenant à K, les u, des polynômes irréductibles sur K, il faut et il suffit qu'on ait f = cg' , où c est une constante appartenant à K.
23) Si f (x, y) est une polynôme quelconque en x, y, à coefficients complexes, montrer que le
calcul d'une primitive de f (x, log x) et de f (x, Arc sin x) se ramène au calcul d'une primitive
de fonction rationnelle.
24) Montrer qu'on peut ramener le calcul d'une primitive de (ax + b)' xq (# et q rationnels)
au calcul de la primitive d'une fonction rationnelle lorsque l'un des nombres p, q, p + q est
entier (positif ou négatif).
* 25) Les fonctions méromorphes dans Li n disque ouvert A de C forment un corps M(A). Un
sous-corps F de M(A), tel que u E F implique Du E F, est appelé un sous-corps di$rentiel de
W A ) .
a) Pour tout polynôme P(X) = Xm + alXm-l + + a, à coefficients dans M(A),
montrer qu'il existe un disque ouvert Al c A (non de même centre que A en général) et
une fonction f G M(A,) vérifiant en tous les points z E A, où f et les a, sont holomorphes, la
relation
Si F est un sous-corps de M(A) contenant les ai, on dit que le sous-corps de M(A1) engendré
par f et les restrictions à A, des fonctions de F est le corps F( f ) obtenu par adjonction à F de la
racine f de P. Cet abus de langage ne cause pas de confusion parce que l'application de
restriction g~ g 1 Al de F sur un sous-corps de M(Al) est injective. Si F est différentiel, il en
est de même de F( f ).
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
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'/[ 19) On sait (A, IX, 8 10, exerc. 2) que, dans le plan compbxe C2, le groupe des angles de
droites pointées A est isomorphe au groupe orthogonal O,(@), l'isomorphisme canonique
faisant correspondre à l'angle 0 la rotation d'angle 0; on transporte au groupe A la topologie
de Oz(C) (considéré comme sous-espace de l'espace M2(C) des matrices d'ordre 2 sur C)
par cet isomorphisme, ce qui fait de A un groupe topologique localement compact; en outre
l'application 6 H cos 6 + i sin 8 est un isomorphisme du groupe topologique A sur le groupe
multiplicatif C* des nombres complexes # 0, l'isomorphisme réciproque étant défini par
I
les formules cos 0 = &(z + l/z), sin 0 = - (z - 112). Déduire de ces relations que tout
2 i
homomorphisme continu z H y(z) du groupe additif @ sur A, tel que les fonctions complexes
cos y (z), sin
20) Soit D la partie de C réunion de l'ensemble défini par - n < 9 ( z ) < n, 3 ( z ) > O, et
du segment 3 ( z ) = 0, O
W(z) < x. Montrer que la restriction de la fonction cos z à D
est une bijection de D sur C; la restriction de cos z à l'intérieur de D est un homéomorphisme de cet ensemble ouvert sur le complémentaire, dans @, de la demi-droite y = O, x d 1.
21) Soient f et g deux polynômes (à coefficients complexes) premiers entre eux, le degré de f
étant strictement inférieur à celui de g. Soient p le p.g.c.d. de g et de sa dérivée g' , q le
quotient de g par p; montrer qu'il existe deux polynômes u, v uniquement déterminés, de
degrés respectifs strictement inférieurs à ceux dep et q, et tels que
En déduire que les coefficients de u et v appartiennent au plus petit corps (sur Q) contenant les coefficients de f et g et contenu dans C.
22) Soient f et g deux polynômes (à coefficients complexes) premiers entre eux, f étant de
degré strictement inférieur à celui de g. Soit K un sous-corps de C contenant les coefficients
de f et de g, et tel que g soit irréductible sur K. Pour qu'il existe une primitive de f/g de la
forme Cai log ut, où les a, sont des constantes appartenant à K, les u, des polynômes irréductibles sur K, il faut et il suffit qu'on ait f = cg' , où c est une constante appartenant à K.
23) Si f (x, y) est une polynôme quelconque en x, y, à coefficients complexes, montrer que le
calcul d'une primitive de f (x, log x) et de f (x, Arc sin x) se ramène au calcul d'une primitive
de fonction rationnelle.
24) Montrer qu'on peut ramener le calcul d'une primitive de (ax + b)' xq (# et q rationnels)
au calcul de la primitive d'une fonction rationnelle lorsque l'un des nombres p, q, p + q est
entier (positif ou négatif).
* 25) Les fonctions méromorphes dans Li n disque ouvert A de C forment un corps M(A). Un
sous-corps F de M(A), tel que u E F implique Du E F, est appelé un sous-corps di$rentiel de
W A ) .
a) Pour tout polynôme P(X) = Xm + alXm-l + + a, à coefficients dans M(A),
montrer qu'il existe un disque ouvert Al c A (non de même centre que A en général) et
une fonction f G M(A,) vérifiant en tous les points z E A, où f et les a, sont holomorphes, la
relation
Si F est un sous-corps de M(A) contenant les ai, on dit que le sous-corps de M(A1) engendré
par f et les restrictions à A, des fonctions de F est le corps F( f ) obtenu par adjonction à F de la
racine f de P. Cet abus de langage ne cause pas de confusion parce que l'application de
restriction g~ g 1 Al de F sur un sous-corps de M(Al) est injective. Si F est différentiel, il en
est de même de F( f ).