5 l
EXERCICES
FVR 111.27
14) Soit a un nombre réel tel que O < a < x/2. Montrer que la fonction
est strictement croissante dans l'intervalle )a, x/2( (cf. 1, p. 45, exerc. 1 1).
15) Soient u et v deux polynômes en x, à coefficients réels, tels qu'on ait identiquement
1/ 1 - u2 = vd 1 - x2; montrer que, si n est le degré de u, on a u' = nu; en déduire que l'on a
U(X) = COS (n Arc cos x).
16) Démontrer (par récurrence sur n) la formule
(n - l)!
Dn(Arc tg x) = (
: lp-Y
-
-
-
-
7 17) Soit f une fonction numérique définie dans un intervalle ouvert 1 c R, telle que
pour tout système de trois points XI, x,, x3 de 1 satisfaisant à xl < x2 < x3 < x1 + TC, on ait
(1)
f (xl) sin (x3 - x2) + f (2,) sin (xl - x3) + f (xÛ) sin (x2 - xl) 3 0.
Montrer que:
a) f est continue en tout point de 1, et admet en tout point de 1 une dérivée à droite et une
dérivée à gauche finies; on a en outre
pour tout couple de points x, y de 1 tels que lx - y1 < x ; on a aussi l'inégalité analogue
à (2) où on remplace fi par f i ; enfin on a fi(x) < fd(x) pour tout x G 1. (Pour démontrer (2),
faire tendre x, vers X, dans (1), en laissant x3 fixe, et obtenir ainsi une majoration de
lim sup (") - (xl) ; puis faire tendre x3 vers XI dans l'inégalité trouvée; en déduire
X l ' t X l
X2 - x1
l'existence de fd ( x ) et l'inégalité (2) pour y > x; procédés analogues pour les autres questions.)
b ) Réciproquement, si (2) a lieu pour tout couple de points x, y de 1 tels que lx - y1 < x,
f vérifie (1) dans 1
(considérer - - - - la dlfférenqe -
f (x2)
-
f(%)
)? - - - - - - - -
- sin (x3 - x , )
sin lx3 2 xl)
c) Si f admet une dérivée seconde dans 1, (1) est équivalente à la condition
(3)
f(x) +y'(%) > 0
pour tout x E 1.
1
* Interpréter ces résultats en considérant la courbe plane définie par x = - cos f,
f ( 4
1
y = '- sin t ((( convexité par rapport à l'origine p).,
f ( t )
18) a) Montrer que, dans l'espace vectoriel des applications de R dans C, les fonctions
distinctes de la forme xneOlx (n entier, u complexe quelconque) forment un système libre
(raisonner par l'absurde, en considérant une relation entre ces fonctions ayant le plus petit
nombre possible de coefficients # O, et dérivant cette relation).
b) Soit f (XI, X,,. . ., X,,J un polynôme par rapport à m indéterminées, à coefficients complexes, tels que lorsqu'on substitue à X, la fonction cos (k$Lhk~k) pour 1 < j < r, la fonction
sin ( 5 pour r + I < j < m, où les fijk sont réels et les xk rie&, on obtienne une fonck = l
tion des xk identiquement n@le;montrer que l a même identité alieu lorsqu'on-donneaux
x, des valeurs comp~exe~arbitraires (utiliser a)).
EXERCICES
FVR 111.27
14) Soit a un nombre réel tel que O < a < x/2. Montrer que la fonction
est strictement croissante dans l'intervalle )a, x/2( (cf. 1, p. 45, exerc. 1 1).
15) Soient u et v deux polynômes en x, à coefficients réels, tels qu'on ait identiquement
1/ 1 - u2 = vd 1 - x2; montrer que, si n est le degré de u, on a u' = nu; en déduire que l'on a
U(X) = COS (n Arc cos x).
16) Démontrer (par récurrence sur n) la formule
(n - l)!
Dn(Arc tg x) = (
: lp-Y
-
-
-
-
7 17) Soit f une fonction numérique définie dans un intervalle ouvert 1 c R, telle que
pour tout système de trois points XI, x,, x3 de 1 satisfaisant à xl < x2 < x3 < x1 + TC, on ait
(1)
f (xl) sin (x3 - x2) + f (2,) sin (xl - x3) + f (xÛ) sin (x2 - xl) 3 0.
Montrer que:
a) f est continue en tout point de 1, et admet en tout point de 1 une dérivée à droite et une
dérivée à gauche finies; on a en outre
pour tout couple de points x, y de 1 tels que lx - y1 < x ; on a aussi l'inégalité analogue
à (2) où on remplace fi par f i ; enfin on a fi(x) < fd(x) pour tout x G 1. (Pour démontrer (2),
faire tendre x, vers X, dans (1), en laissant x3 fixe, et obtenir ainsi une majoration de
lim sup (") - (xl) ; puis faire tendre x3 vers XI dans l'inégalité trouvée; en déduire
X l ' t X l
X2 - x1
l'existence de fd ( x ) et l'inégalité (2) pour y > x; procédés analogues pour les autres questions.)
b ) Réciproquement, si (2) a lieu pour tout couple de points x, y de 1 tels que lx - y1 < x,
f vérifie (1) dans 1
(considérer - - - - la dlfférenqe -
f (x2)
-
f(%)
)? - - - - - - - -
- sin (x3 - x , )
sin lx3 2 xl)
c) Si f admet une dérivée seconde dans 1, (1) est équivalente à la condition
(3)
f(x) +y'(%) > 0
pour tout x E 1.
1
* Interpréter ces résultats en considérant la courbe plane définie par x = - cos f,
f ( 4
1
y = '- sin t ((( convexité par rapport à l'origine p).,
f ( t )
18) a) Montrer que, dans l'espace vectoriel des applications de R dans C, les fonctions
distinctes de la forme xneOlx (n entier, u complexe quelconque) forment un système libre
(raisonner par l'absurde, en considérant une relation entre ces fonctions ayant le plus petit
nombre possible de coefficients # O, et dérivant cette relation).
b) Soit f (XI, X,,. . ., X,,J un polynôme par rapport à m indéterminées, à coefficients complexes, tels que lorsqu'on substitue à X, la fonction cos (k$Lhk~k) pour 1 < j < r, la fonction
sin ( 5 pour r + I < j < m, où les fijk sont réels et les xk rie&, on obtienne une fonck = l
tion des xk identiquement n@le;montrer que l a même identité alieu lorsqu'on-donneaux
x, des valeurs comp~exe~arbitraires (utiliser a)).