FVR 111.26
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
$ 1
10) La suite (ak)k,l étant formée de nombres > O, on pose s, = nA, = al + . . . + a,.
Pourp < 1 et Ak > O, o n a
pourvu que pl 2 Al et, pour k > 2, pk = (A; + Sk.)llS -
avec q = p/(l - fi),
6k 2 0 pour tout k et
= O (méthode de l'exerc. 8). En particulier, on a les inégalités
qui entraîne (avec A, = s,/n)
(inégalité de Hardy améliorée) ;
pourvu que bk a 1 pour tout k ;
as + af + . . . + an) a a: + (a2 - + . . . + (a, - an-# + @ai
x
sin (n + 1) 0
si l'on a, pour un 0 tel que O < cp < -, cr = 2(1 - cos 0) et @ = 1 -
sin nB
X
X
Cas où 0 = -.
, cas où 0 = -.
n + l
2n + 1
11) Soient aij (1 < i a n, 1 < j < n) des nombres > O, tels que pour tout indice i, on ait
n
n
,z a,, = 1 et, pour tout indicej, 2 aij = 1. Soient xi (1 i < n) n nombres > O; on pose
i = 1
yt = ail% + ai2a2 + . . . + ainxn (1 a i < n).
Montrer que yly2 . . . y, > xlx2. . . x,, (minorer log y, pour chaque indice i).
12) a) Soit 2 cijxiXj, où cji = Zij, une forme hermitienne positive non dégénérée, A son
i i
.. ,
déterminant; montrer que A < cl1cz2. . .c,, (exprimer A et les cii à l'aide des valeurs propres
de la forme hermitienne, et utiliser la prop. 2).
b) En déduire que, si (aLj) est une matrice carrée d'ordre n à éléments complexes quelconques,
A son déterminant, on a (<( inégalité de Hadamard i ) )
l'égalité n'ayant lieu que si un des facteurs du second membre est nul ou si on a, quels que
soient les indices distincts h, k
ahlakl f ahzak2 + . ' $. ahnÜkn = 0
(multiplier la matrice (ai,) par la conjuguée de sa transposée).
13) Si x, y, a, b sont > O, montrer que
X
Y
X + Y
%log- $ y l o g b > ( X +y)log- a + b
l'&alité n'ayant lieu que si x/a = ylb.