s 1
EXERCICES
FVR 111.25
5) Pour x > O et y réel quelconque, montrer que l'on a
xy < log x -t eY-l
(cf. II, p. 31, exerc. 15) ; dans quels cas les deux membres sont-ils égaux?
6) On note A, et G, les moyennes arithmétique et géométrique ordinaires des n premiers
nombres d'une suite (ak) (k 3 1) de nombres >O. Montrer que
n(An - Gn) < (n + 1) (An+, - Gn+1)
l'égalité n'ayant lieu que si an+ = G, (poser a, + = xn+l, G, = yn +l).
7) Avec les notations de l'exerc. 6, montrer que si l'on pose x, = a,/A la relation
G, > (1 - a)A, pour O < a < 1, entraîne, pour 1 < i < n
En déduire que, pour tout indice i, on a 1 + x' < xi < 1 + x", où x' est la racine < O,
x" la racine 2 O, de l'équation (1 + x)e-% = (1 - cc)n (cf. III, p. 24, exerc. 2).
8) On considère une suite d'ensembles Dk (k 2 1) et pour chaque k, deux fonctions
(xl, . . ., xk) t-+ fk(xl, . . ., xk), (xl, . . . , xk) t-+gk(xl, . . ., xk) à valeurs réelles, où
(x,, . . . , xk) E Dl x D2 x . . . x Dg. On suppose que pour tout k, il existe une fonction réelle
F, définie dans R et telle que, pour tout y E R et pour al E Dl, . . . , ak-l E Dk-l arbitraires,
on ait
(On prend par convention f, = 1). Montrer que si les suites de nombres réels (y,) et (ak)
vérifient les conditions Fl(pl) = O et Fk(pk) = Sk, on a les inégalités
(PI - % ) f 1 + (PZ - a d f i + . . . + ( ~ n - 1 -8n)fn-1 + ~ n f n < S i + g z + . . a +gn
pour toutes les valeurs de n et des xk E DR.
9) Les notations étant celles de l'exerc. 6, montrer que l'on a
pourvu que l'on ait hk 3 O pour tout k et
pk = k((hk@k)llk - @;y1) pour 1 < k < n
avec
3 O pour tout k, pl < 1 et pn+l = O (méthode de I'exerc. 8).
En particulier, pour des choix convenables des hk et Pk, on a les inégalités
et en particulier (inégalité de Carleman)
Gi + 6 2 + ... + G, < e(al + az + ... + a,);
eA, 3 F, eGnIrn
où ï, = (G1 + G2 + . . . + G,)/n (amélioration de l'inégalité de Carleman) ;
si la suite (a,) est croissante;
-
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-nGn-mG, G a, l
-+ a,+a +; . .-+ a, .
EXERCICES
FVR 111.25
5) Pour x > O et y réel quelconque, montrer que l'on a
xy < log x -t eY-l
(cf. II, p. 31, exerc. 15) ; dans quels cas les deux membres sont-ils égaux?
6) On note A, et G, les moyennes arithmétique et géométrique ordinaires des n premiers
nombres d'une suite (ak) (k 3 1) de nombres >O. Montrer que
n(An - Gn) < (n + 1) (An+, - Gn+1)
l'égalité n'ayant lieu que si an+ = G, (poser a, + = xn+l, G, = yn +l).
7) Avec les notations de l'exerc. 6, montrer que si l'on pose x, = a,/A la relation
G, > (1 - a)A, pour O < a < 1, entraîne, pour 1 < i < n
En déduire que, pour tout indice i, on a 1 + x' < xi < 1 + x", où x' est la racine < O,
x" la racine 2 O, de l'équation (1 + x)e-% = (1 - cc)n (cf. III, p. 24, exerc. 2).
8) On considère une suite d'ensembles Dk (k 2 1) et pour chaque k, deux fonctions
(xl, . . ., xk) t-+ fk(xl, . . ., xk), (xl, . . . , xk) t-+gk(xl, . . ., xk) à valeurs réelles, où
(x,, . . . , xk) E Dl x D2 x . . . x Dg. On suppose que pour tout k, il existe une fonction réelle
F, définie dans R et telle que, pour tout y E R et pour al E Dl, . . . , ak-l E Dk-l arbitraires,
on ait
(On prend par convention f, = 1). Montrer que si les suites de nombres réels (y,) et (ak)
vérifient les conditions Fl(pl) = O et Fk(pk) = Sk, on a les inégalités
(PI - % ) f 1 + (PZ - a d f i + . . . + ( ~ n - 1 -8n)fn-1 + ~ n f n < S i + g z + . . a +gn
pour toutes les valeurs de n et des xk E DR.
9) Les notations étant celles de l'exerc. 6, montrer que l'on a
pourvu que l'on ait hk 3 O pour tout k et
pk = k((hk@k)llk - @;y1) pour 1 < k < n
avec
3 O pour tout k, pl < 1 et pn+l = O (méthode de I'exerc. 8).
En particulier, pour des choix convenables des hk et Pk, on a les inégalités
et en particulier (inégalité de Carleman)
Gi + 6 2 + ... + G, < e(al + az + ... + a,);
eA, 3 F, eGnIrn
où ï, = (G1 + G2 + . . . + G,)/n (amélioration de l'inégalité de Carleman) ;
si la suite (a,) est croissante;
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-nGn-mG, G a, l
-+ a,+a +; . .-+ a, .