Exercices
9 1
1) Soit f une application continue et dérivable de R dans un algèbre normée complète E
sur R, ayant un élément unité e; on suppose que f (O) = e et qu'on ait identiquement fl(x) =
f (x)c, où c est un élément inversible de E. Montrer que f est un homomorphisme du groupe
additif R dans le groupe multiplicatif G des éléments inversibles de E. (Considérer le plus
grand intervalle ouvert 1 contenant O et tel que f (x) soit inversible pour tout z E 1, et prouver
que pour x, y et x + y dans 1 on a f(x + y) (f ( x ) f (y)) - l = e en laissant x fixe et faisant
varier y; en déduire enfin que 1 = R.)
2) a) Pour que la fonction (1 + l / ~ ) ~ + p
soit décroissante (resp. croissante) pour x > 0,
il faut et il suffit que fi > 3 (resp. p < O) ; pour O < fi < +, la fonction est décroissante dans
un intervalle )O, xo(, croissante dans lxo, + a ( . Dans tous les cas, la fonc~ion tend vers e
lorsque x tend vers + CO.
6) Etudier de même les fonctions (1 - I / X ) ~ - ~ ,
(1 i - I / X ) ~ ( I
+ p/x) et (1 + ~ / x ) ~ +
l pour
x > o.
3) a) Démontrer que pour a > 1 et x 3 0, (1 + ,Y)= 2 1 + a,?, et pour O ,< a < 1 et
x 2 0, (1 + x)= < 1 + ax.
1
b) Démontrer que pour O < x ,< 1 et CL >, O, on a (1 - x)= < ---. 1 + ax
6) Pour 0 < ol < 1, montrer que pour x 3 0 et y 2 O, on a ~ ~ y l - ~
< ax + by pour tous les
couples de nombres > O tels que aEbl-= = a ( l - CL)^ -a.
d) Déduire de c) que sif, g sont deux fonctions réglées 2 O dans un intervalle 1 tel que les
intégrales JI f (t) dt et JI g(t) dt soient convergentes, l'intégrale JI (f (t))=(g(t))l-a dt est convergente et l'on a
En déduire l'inégalité de Hdder
(dite a inégalité de Cauchy-Buniakowski-Schwarz )> pour a = 4).
4) Déduire de l'inégalité de Cauchy-Schwarz que pour toute fonction u primitive d'une
fonction réglé; dans (a, b) et toute fonction continue h > O dans (a, b), on a
u2(t)
/u(b)' - u(a)' / < 2 (lab uI2(t) h(1) dt) YI (la - dt) YI
h(t)
si les deux intégrales du second membre sont convergentes.
En prenant a = O, b = 4 2 , h(t) = 1 et
u ( t ) = cl cos t + cz cos 3t + . . . -i- c, cos (Zn - 1) t,
où c j 2 O pour toutj, en déduire l'inégalité de Carlson
9 1
1) Soit f une application continue et dérivable de R dans un algèbre normée complète E
sur R, ayant un élément unité e; on suppose que f (O) = e et qu'on ait identiquement fl(x) =
f (x)c, où c est un élément inversible de E. Montrer que f est un homomorphisme du groupe
additif R dans le groupe multiplicatif G des éléments inversibles de E. (Considérer le plus
grand intervalle ouvert 1 contenant O et tel que f (x) soit inversible pour tout z E 1, et prouver
que pour x, y et x + y dans 1 on a f(x + y) (f ( x ) f (y)) - l = e en laissant x fixe et faisant
varier y; en déduire enfin que 1 = R.)
2) a) Pour que la fonction (1 + l / ~ ) ~ + p
soit décroissante (resp. croissante) pour x > 0,
il faut et il suffit que fi > 3 (resp. p < O) ; pour O < fi < +, la fonction est décroissante dans
un intervalle )O, xo(, croissante dans lxo, + a ( . Dans tous les cas, la fonc~ion tend vers e
lorsque x tend vers + CO.
6) Etudier de même les fonctions (1 - I / X ) ~ - ~ ,
(1 i - I / X ) ~ ( I
+ p/x) et (1 + ~ / x ) ~ +
l pour
x > o.
3) a) Démontrer que pour a > 1 et x 3 0, (1 + ,Y)= 2 1 + a,?, et pour O ,< a < 1 et
x 2 0, (1 + x)= < 1 + ax.
1
b) Démontrer que pour O < x ,< 1 et CL >, O, on a (1 - x)= < ---. 1 + ax
6) Pour 0 < ol < 1, montrer que pour x 3 0 et y 2 O, on a ~ ~ y l - ~
< ax + by pour tous les
couples de nombres > O tels que aEbl-= = a ( l - CL)^ -a.
d) Déduire de c) que sif, g sont deux fonctions réglées 2 O dans un intervalle 1 tel que les
intégrales JI f (t) dt et JI g(t) dt soient convergentes, l'intégrale JI (f (t))=(g(t))l-a dt est convergente et l'on a
En déduire l'inégalité de Hdder
(dite a inégalité de Cauchy-Buniakowski-Schwarz )> pour a = 4).
4) Déduire de l'inégalité de Cauchy-Schwarz que pour toute fonction u primitive d'une
fonction réglé; dans (a, b) et toute fonction continue h > O dans (a, b), on a
u2(t)
/u(b)' - u(a)' / < 2 (lab uI2(t) h(1) dt) YI (la - dt) YI
h(t)
si les deux intégrales du second membre sont convergentes.
En prenant a = O, b = 4 2 , h(t) = 1 et
u ( t ) = cl cos t + cz cos 3t + . . . -i- c, cos (Zn - 1) t,
où c j 2 O pour toutj, en déduire l'inégalité de Carlson