No 4
DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
FVR 111.23
où R,(x) est du signe de x et satisfait à l'inégalité
D'ailleurs, la relation (35) montre que R,(x) tend vers une limite lorsque x tend
vers 1 ou - 1,-et on a donc
Mais l'intégrale du second membre de (37) tend ve- Olouque n tend yers t c a
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- en effet; l'ht&rale I,' dt/\/l - t Z étant convergente, pour tout E > O, il existe
a tel que O < a < 1 et J "
: d t l d l - t 2 < E; d'autre part, on a
+ 3
et il existe donc no tel que pour n > no on ait
(2n + 3 ) i m < E, d'où finalement IRn(x) / < 2~ pour 1x1 < 1 et n > no. O n a donc
Arc sin x = 2
1 . 3 . 5 . . .(2n - 1)
n = o
2 . 4 . 6 . . .2n
Zn + 1
la série du second membre étant normalement convergente dans l'intervalle compact (- 1, 1).
Au contraire, on-montre, camme pourla formuledu-binôme, que le termcgénérd
de la série du second membre de (38) croît indéfiniment en valeur absolue pour
1x1 > 1.
En faisant par exemple ?e = 4 dans (38), on obtient une nouvelle expression du
nombre ?i:
qui se prête beaucoup mieux que la formule (34) au calcul de valeurs approchées de x
(voir Calcul numérique) ; on peut ainsi obtenir
TC = 3,141 592 653.. .
à 1/109 près par défaut.l
Le nombre n est, non seulement irrationnel (cf. III, p. 35 exerc. 5), mais même transcendant sur
le corps Q des nombres rationnels, comme il a été démontré pour la première fois en 1882 par
LINDEMANN (v. par exemple D. HILBERT, Gesanzmelte Abhandlungen, t. 1, p. 1, Berlin (Springer), 1932).