FVR 111.22
FONCTIONS ~ L ~ M E N T A I R E S
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Au contraire, pour 1x1 > 1, le terme général de la série du second membre de
(30) croit indéfiniment en valeur absolüc avec n (III, p. 16). Pour x = - 1, la série
se réduit à la série harmonique, qui a pour somme +a (TG, IV, p. 33).
De même, remplaçons dans (26) x par x2 et intégrons les deux membrcs entre
O et x ; on obtient le développement de Taylor d'ordre 2n - 1 de Arc tg x,
valable pour tout x réel
Le reste est du signe de ( - l)"x, et comme 1 +- t 2 3 1 pour tout t, on a la
limitation
d'où on tire que, pour 1x1 < 1,
m
X2n - 1
Arc tg x = s ( - l)"-' -n = l
2n - 1
la série étant uniformément co~zuergente dans 6 - 1, + 11, et absolument convergente
pour 1x1 < 1.
En particulier, pour x = 1, on obticnt la formule
(34)
7i
1
1
1
3 =
1 - - + - -l- ... + (-l).3
5
f ... .
2n + 1
Pour 1x1 > 1, le terme général de la série du second membre de (33) croit indéfininient en valeur absolue avec n.
Enfin, pour le développement de Taylor de Arc sin x, partons du développement de sa dérivée ( 1 - x2) -?$; ce dernier s'obtient en remplaçant x par - x2
dans le développement de (1 + x) - % suivant la form~dc du binôme, ce qui donne
pour 1x1 < 1,
avec la limitation déduite de (23)
En prenant la primitive du développement précédent, il vient
l x 3
1 . 3 x 5
(35) Arc sin ,x = x + - - + - - + . -
2 3
2 . 4 5