No 4
DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
FVR 111.21
vers O, donc l'inégalité (21) montre que rn(l) tend vers O. La série du binôme est
donc convergente pour x = 1 et a pour somme 2"; en outre, la série du binôme
est uniformément convergente dans tout intervalle )xo, 1) avec - 1 < x, < 1,
en vertu de ce qui a été vu plus haut et de (21). Par contre, pour x = - 1 tous
les termes du second membre de (24) sont > O; si cette série était convergente,
on en déduirait que la série du binôme serait normalement convergente dans
(- 1, 1) et aurait par suite pour somme une fonction continue dans cet intervalle,
ce qui est absurde puisque (1 + x ) ~
n'est pas bornée dans ) - 1, 1) pour m < 0.
O n en conclut aussi que pour x = 1, la série du binôme n'est pas absolument
convergente.
c) m > O. La définition de rn(x) montre alors que lorsque x tend vers - 1,
r,(x) tend vers une limite r,,(- 1); en passant à la limite dans (20), on en conclut
m - 1
q u e n ( - < ( ) I , etcommem - 1 > -l,onvoitque,pourx = -1,
la série du binôme est convergente. D'ailleurs, pour n > m + 1, tous les termes
de cette série sont de même signe; donc la série du binôme est normalement convergente dans l'intervalle (- 1, 1) et a pour somme (1 + x ) ~
dans cet intervalle.
4. Développements de log(1 + x ) , de Arc tg x et de Arc sin x
Intégrons les deux membres de (26) entre O et x; on obtient le développement de
Taylor d'ordre n de log (1 + x), valable pour x > - 1
x x2 x3
xn
(27) log (1 + x) = - - - + - + . . . + (-1)'-l- + (-I)~/~
1
2
3
n
Le reste est du signe de ( - 1)" si x > O, et est p o u r x > O , o n a l + t > 1 p o u r O ~ t
1 - 1x1
pour x < O; d'où les limitations du reste
pour x 2 O
(29)
tndt
Ixln+l
IIo ~ f t l
" ( a + l ) ( l - 1x1) pour - 1 < x < 0.
De ces deux dernières formules, on déduit aussitôt que, pour - 1 < x < 1,
on a
la série étant uniformément convergente dans tout intervalle compact contenu dans
) - 1, + 1), absolument convergente pour 1x1 < 1.