FVR 111.20
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
d'où
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Si 1x1 < r < 1, il existe no tel que 1 + - < 1/r1, où r < r' < 1, d'où, en
no
posant
ce qui démontre la proposition. Au contraire, pour x > 1, la valeur absolue du
terme général de la série (24) croit indéfiniment avec n, si m n'est pas un entier
2 O; en effet, d'après (25), on a, pour n > n, 2 lm + 11
lm + ll > l/x', où 1 < x' < x.
Soit no > n, tel que, pour n 2 no, on ait 1 - --- n
Si on pose
on aura, pour n > no,
d'où la proposition.
On notera que, pour m = - 1, l'identité algébrique
donne l'expression du reste de la formule générale (19) sans intégration; la
formule (23) se réduit dans ce cas à l'expression de la somme de la série (ou progression) géométrique (TG, IV, p. 32).
En second lieu, étudions la convergence de la série du binôme pour x = 1 ou
x = - 1 (le cas trivial m = O étant exclu) :
+
converge vers +CO si
a) m < - 1. Le produit de terme général 1 - - n
m < - 1, vers 1 si m = - 1, donc il résulte de (25) que pour x = -I 1, le terme
général de la série du binôme ne tend pas vers O.
+
' converge
6 ) - 1 < m < O. Cette fois, le produit de terme général 1 - -
n