No 3
DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS ÉLÉMENTALRES
FVR 111.19
Si l'on suppose x > O, et n 2 m - 1, on a (1 + t)n-m+l > 1 dans l'intervalle d'intégration, donc
ce qui donne la majoration du reste
D'autre part, supposons - 1 < m < O; si dans l'intégrale de (19) on fait le
x - t
changement de variables u = x(l + t )
on obtient
Pour majorer l'intégrale pour x > - 1, on remarque que, puisque m + 1 < 1,
l'intégrale
un du
I
est convergente et majore l'intégrale du second membre
(1 - u)"+l
de (22) puisque 1 + ux > 1 - u. Or, pour - 1 < x < 0, l'hypothèse sur m entraîne que tous les termes (y) r, (
:
) x2, . . . , (:lxn figurant au second membre
de (19) sont 2 O, et par suite rn(x) B (1 + x ) ~ ,
d'où en divisant par (1 + x ) ~ ,
D'ailleurs pour - 1 < x < O, le facteur devant l'intégrale est 30, d'où en
faisant tendre x vers - 1,
et par suite, pour - 1 < m < O et x > - 1
(23)
Irn(%)/ < (1 + ~ ) ~ l x l ~ + l .
De ces inégalités, nous allons déduire d'abord que, pour 1x1 < 1, on a
(1 + x)" = n=O 3 ( n ) x n
la série du second membre (dite série du binôme) étant absolument et uniformément convergente dans tout intervalle compact contenu dans ) - 1, + l(. En effet on peut
écrire