FVR 111.18
FONCTIONS ÉLEMENTAIRES
§ 2
ces séries étant absolument et uniformément convergentes dans tout intervalle
conlpact.
Il est clair d'ailleurs que les formules (17) et (18) sont encore valables pour tout
x con@! exe, les séries des seconds membres étant absolument et uniformément convergentes dans toute partie compacte de C. En particulier, on a pour tout x (réel ou
complexe)
3. Le développement du binôme
Soit m un nombre réel quelconque. Pour x > O, on a
Dn(xm) = m(m - 1). . . (m - n + I ) X ~ - ~ ;
en appliquant à la fonction (1 $- x ) ~
la formule de Taylor d'ordre n relative
au point x = O, on obtient, pour tout x > - 1, la formule
avec
(3
m(m - 1) ...( m - n + 1)
où on a posé
=
La formule (19) se réduit à la
n!
formule du binôme (A, 1, p. 94) lorsque m est entier > O et n 2 m; par extension,
on la nomme encore formule du binôme, et les coefficients
sont dits coeficients
binomiaux, lorsque m est un nombre réel quelconque et n un entier quelconque > 0.
Le reste de (19) a le signe de
( n
1) si x > O, le signe de ( - 1)"' '
si - 1 < x < O. Comme -
1 1
1x1 pour tout t > - 1 appartenant à'
l'intervalle d'extrémités O et x, on a la limitation suivante du reste, pour met n
quelconques et x > - 1