No 2
DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
FVR III. 1 7
d'où on déduit les développements de Taylor de cos x et de sin x: en prenant la
partie réelle de (10) pour l'ordre 2n + 1, on a
x2 x4
(11) c o s x = 1 - -
x2n
+ - + . - a + (-1)n2!
4!
(Zn) !
avec la limitation du reste
+ l COS t dt <
1 J . G x (;2i+ l)!
IxI""' "
( (Zn + 2) !*
De même, en prenant la partie imaginaire de (10) pour l'ordre 2n, il vient
x3 x5
- 1
(13) sinx = x - - + - + . . + ( - 1)n-1
3! 5!
(2n - 1) !
(X - t)2n
+
( - ' 1% l0 (Zn) !
cos t dt
avec la limitation du reste
En outre, en comparant les restes de (1 1) pour l'ordre 2n + 1 et l'ordre 2n + 3,
on a
et, en tenant compte de (12), on voit que le reste de (1 1) est du signe de (- l)n+l
quel que soit x; de même manière, on montre que le reste de (13) est du signe de
(-l)nx. En particulier, pour n = O et n = 1 dans (Il), pour n = 1 et n = 2
dans (13), on obtient les inégalités
(15)
x2
1 - p t COS x < 1 pour tout x
(16)
x3
X - - 6
< sin x < x pour tout x 2 0.
Enfin, en faisant z = ix dans (9), on a
00
x2n
cos x = 2 (- 1)" -
n=O
(Zn) !