FVR 111.16
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
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à 1/109 près par défaut. L a formule (5) prouve en outre que e est un nombre irrationnell (TG, VI, p. 41).
Remarque. - Comme le reste de la formule (1) est > O pour x > O, on a, pour x > O
et a fortiori
pour tout entier n; on en déduit que ex/xn tend vers + CO avec x, pour tout entier n;
nous retrouverons ce résultat au chap. V par une autre méthode (V, p. 2 1).
2. Développements de l'exponentielle complexe, de cos x et sin x
Soit z un nombre complexe quelconque, et considérons la fonction la variable réelle t; on a Dn l'expression de q(1) par la
formule de Taylor d'ordre n relative au point t = O (II, p. 12), donne donc
formule qui, lorsque z est réel, est équivalente à (1). Le reste
"1 - t)"
r d 4
n!
ezt dt
de cette formule se majore encore, en valeur absolue, à l'aide de l'inégalité de la
moyenne;siz = x + iy,ona leZtl = ext, donc lezt\ < 1 si x < O, leztl a ex si x > O;
il vient donc
Comme ci-dessus, on en conclut que
six < O
si x > O.
la série étant absolument et unÊformément convergente dans toute partie compacte de C.
De (6) on tire en particulier, pour x réel
Ch. HERMITE a démontré en 1873 que e est un nombre transcendant sur le corps Q des nombres
rationnels (autrement dit, n'est racine d'aucun polynôme à coefficients rationnels) (ühvres, t. III,
p. 150, Paris (Gauthier-Villars), 19 12).