No 1
DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES
FVR 111. 15
Enfin, on désigne par Arg th x la fonction réciproque de th x, qui est une
application strictement croissante de ) - 1, + 1( sur R; on a d'ailleurs
Remarque.-Pour r complexe, on écrit aussi parfois
ch z = + (eZ + e - Z ) = cos Êz
sh z = 3 (eZ - e - 8 ) = - i sin iz.
Ces fonctions prolongent donc à C les fonctions hyperboliques définies
dans IR.
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fj 2. DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS EXPONENTIELLES
ET CIRCULAIRES, E T DES FONCTIONS QUI S'Y RATTACHENT
1. Développement de l'exponentielle réelle
Comme Dn(ex) = ex, le développement de Taylor d'ordre n de ex est
Le reste de cette formule est > O pour x > O, du signe de ( - l ) n f l pour
x < O; en outre, l'inégalité de la moyenne montre que
Or, on sait que la suite (xn/n!) a pour limite O lorsque n croit indéfiniment,
pour tout x 3 O (TG, IV, p. 33) ; donc, en laissant fixe x et faisant croître indéfiniment n dans (l), il vient, d'après (2) et (3)
et la série du second membre est absolument et uniformément convergente dans tout
intervalle compact de R. En particulier, on a la formule
Cette formule permet de calculer des valeurs rationnelles aussi approchées que
l'on veut du nombre e ; on obtient ainsi
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e = 2,718281 828. .- - - -
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