EXERCICES
1) Soit G un groupe compact. Montrer que toute représentation
continue cp de G dans R : est telle que cp(G) = (1). En déduire qu'une
mesure positive relativement invariante sur G est invariante.
2) Soit G un groupe topologique, tel que le groupe des commutateurs de G soit partout dense dans G. Montrer que toute représentation
continue cp de G dans un groupe commutatif séparé est telle que 9(G) = (e).
En déduire que, si G est localement compact, toute mesure complexe
relativement invariante sur G est invariante. En particulier, G est
unimodulaire.
3) Soient G un groupe localement compact, y une mesure de Haar
B gauche sur G, et v = AG@. p. Montrer que
4) Soient G, G' deux groupes localement compacts, V (resp. V')
un voisinage ouvert de l'élément neutre de G (resp. G'), cp un isomorphisme local de G' à G, défini sur V', tel que cp(V1) = V. Montrer que
A, O cp est la restriction de A, , A VI.
5) Pour tout a appartenant au groupe multiplicatif Q*, soit cp(a)
l'automorphisme du groupe additif R défini par cp(a)x = ax. On munit
Q* de la topologie discrkte. Soit G le produit semi-direct topologique
de Q* et R défini par cp (Top. gén., chap. III, 3eCd., J 2, no.lO). Montrer
que G est localement isomorphe A R, mais n'est pas unimodulaire.
6) Soit G un groupe localement compact admettant un sous-groupe
H ouvert et compact. Montrer que, pour tout automorphisme cp de G,
mod cp E Q:. (Observer que cp(H) fi H est d'indice fini dans H et cp(H)).
Montrer que l'égalité AG(s) = 1 définit un sous-groupe ouvert de G
contenant H.
7) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de Haar
à gauche sur G, A une partie de G, B une partie pintégrable relativement compacte de G telle que p(B) > O. Montrer que si les parties
compactes de A . B ont des mesures bornées pour P, A est relativement
compacte. (Imiter le raisonnement de la prop. 1).
1) Soit G un groupe compact. Montrer que toute représentation
continue cp de G dans R : est telle que cp(G) = (1). En déduire qu'une
mesure positive relativement invariante sur G est invariante.
2) Soit G un groupe topologique, tel que le groupe des commutateurs de G soit partout dense dans G. Montrer que toute représentation
continue cp de G dans un groupe commutatif séparé est telle que 9(G) = (e).
En déduire que, si G est localement compact, toute mesure complexe
relativement invariante sur G est invariante. En particulier, G est
unimodulaire.
3) Soient G un groupe localement compact, y une mesure de Haar
B gauche sur G, et v = AG@. p. Montrer que
4) Soient G, G' deux groupes localement compacts, V (resp. V')
un voisinage ouvert de l'élément neutre de G (resp. G'), cp un isomorphisme local de G' à G, défini sur V', tel que cp(V1) = V. Montrer que
A, O cp est la restriction de A, , A VI.
5) Pour tout a appartenant au groupe multiplicatif Q*, soit cp(a)
l'automorphisme du groupe additif R défini par cp(a)x = ax. On munit
Q* de la topologie discrkte. Soit G le produit semi-direct topologique
de Q* et R défini par cp (Top. gén., chap. III, 3eCd., J 2, no.lO). Montrer
que G est localement isomorphe A R, mais n'est pas unimodulaire.
6) Soit G un groupe localement compact admettant un sous-groupe
H ouvert et compact. Montrer que, pour tout automorphisme cp de G,
mod cp E Q:. (Observer que cp(H) fi H est d'indice fini dans H et cp(H)).
Montrer que l'égalité AG(s) = 1 définit un sous-groupe ouvert de G
contenant H.
7) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de Haar
à gauche sur G, A une partie de G, B une partie pintégrable relativement compacte de G telle que p(B) > O. Montrer que si les parties
compactes de A . B ont des mesures bornées pour P, A est relativement
compacte. (Imiter le raisonnement de la prop. 1).