§ l
EXERCICES
101
8) Soient G un groupe localement compact, A une partie partout
dense de G, a une mesure de Haar à gauche sur G, H une partie
a-mesurable de G possédant la propriété suivante : pour tout s E A,
sH i l (CH) et H fi (CSH) sont localement a-négligeables. Montrer que
H est localement u-n6gligeable ou de complémentaire localement u-négligeable. (Montrer que cp,.u est invariante à gauche).
9) On adopte les notations de la démonstration du th. 1 du no 2.
Soit p l'unique mesure de Haar à gauche sur G telle que P(fo) = 1.
Montrer que, pour toute f E Z(G), I,(f) tend vers P(f) suivant 6 . (Soit
a une valeur d'adhérence de g - I,(f) suivant B. Il existe un ultrafiltre U plus fin que 6 tel que I,(f) tende vers a suivant U. D'autre part,
I,(f) tend vers P(f) suivant U).
10) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de
Haar à gauche sur G. Montrer que tout ensemble p-intégrable A est
contenu dans une réunion dénombrable d'ensembles compacts. (Se
ramener au cas où A est ouvert, et observer qu'il existe un sous-groupe
ouvert de G réunion dénombrable de parties compactes).
711) Soient G un groupe localement compact non discret dénombrable à l'infini, P une mesure de Haar A gauche de G. Montrer que
tout voisinage compact V de e contient un sous-groupe distingué H de
G, p-négligeable et tel que G/H soit un groupe localement compact
polonais. (On pourra procéder de la façon suivante : soit L le sous-groupe
ouvert de G engendré par V ; soient b,, b,, . . . des représentants des
classes à gauche suivant L. Former une suite décroissante (V,) de voisinages symétriques de e tels que : 1) VI C Vn-, ; 2) xVnx-l C Vn-,
pour tout x E V ; 3) biV,b;l C V,_, pour 1 -: i 4 n ; 4) p(Vn) 4 l/n.
Poser H = V,fl V,fl . . .).
Soit (f,) une suite de fonctions numériques uniformément continues pour la structure uniforme gauche de G. Montrer qu'on peut construire H de manière que, de plus, les f, soient constantes sur les classes
suivant H. (Dans la construction précédente, prendre Vn tel que l'on ait
If,(x) - f,(y)j 6 l / n pour x-ly E Vn et pour 1 L i L n ) .
Soit (g,) une suite de fonctions numériques fi-intégrables sur G.
Montrer qu'on peut construire'H de manière que, de plus, chaque y,
soit égale presque partout à une fonction constante sur les classes
suivant H.
12) Soient K un corps localement compact non discret, E un espace
vectoriel topologique à gauche sur K.
a) Si E de dimension 1, E est isomorphe à K, (imiter la démonstration de la prop. 2 de Esp. vect. top., chap. 1, $ 2, no 2, en remplaçant
la valeur absolue par la fonction mod,).
b) Si E est de dimension n, E est isomorphe à Ky (imiter la démonstration du th. 2 de Esp. vect. top., chap. 1, fj 2, no 3).
c) On suppose E localement compact. Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie n de E. Pour tout a E K, soit mod,(a) le module
de x -+ ax dans E. Comme F est fermé dans E d'après b), on peut former
mod~/p(a). Montrer que mod,(a) = m~d,(a)~mod~~p(a). Montrer que,
si mod,(a) < 1 et si F # E, on a modEjF(a) < 1. (On a an - O quand
n - + CO ; en dBduire que modEIF(an) + O en raisonnant comme pour
la prop. 12 du no 10). En déduire que n L log mod,(l/a)/log mod,(l/a),
donc que E est de dimension finie.
(On verra en Alg. comm., chap. VI, que la topologie d'un corps
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8) Soient G un groupe localement compact, A une partie partout
dense de G, a une mesure de Haar à gauche sur G, H une partie
a-mesurable de G possédant la propriété suivante : pour tout s E A,
sH i l (CH) et H fi (CSH) sont localement a-négligeables. Montrer que
H est localement u-n6gligeable ou de complémentaire localement u-négligeable. (Montrer que cp,.u est invariante à gauche).
9) On adopte les notations de la démonstration du th. 1 du no 2.
Soit p l'unique mesure de Haar à gauche sur G telle que P(fo) = 1.
Montrer que, pour toute f E Z(G), I,(f) tend vers P(f) suivant 6 . (Soit
a une valeur d'adhérence de g - I,(f) suivant B. Il existe un ultrafiltre U plus fin que 6 tel que I,(f) tende vers a suivant U. D'autre part,
I,(f) tend vers P(f) suivant U).
10) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de
Haar à gauche sur G. Montrer que tout ensemble p-intégrable A est
contenu dans une réunion dénombrable d'ensembles compacts. (Se
ramener au cas où A est ouvert, et observer qu'il existe un sous-groupe
ouvert de G réunion dénombrable de parties compactes).
711) Soient G un groupe localement compact non discret dénombrable à l'infini, P une mesure de Haar A gauche de G. Montrer que
tout voisinage compact V de e contient un sous-groupe distingué H de
G, p-négligeable et tel que G/H soit un groupe localement compact
polonais. (On pourra procéder de la façon suivante : soit L le sous-groupe
ouvert de G engendré par V ; soient b,, b,, . . . des représentants des
classes à gauche suivant L. Former une suite décroissante (V,) de voisinages symétriques de e tels que : 1) VI C Vn-, ; 2) xVnx-l C Vn-,
pour tout x E V ; 3) biV,b;l C V,_, pour 1 -: i 4 n ; 4) p(Vn) 4 l/n.
Poser H = V,fl V,fl . . .).
Soit (f,) une suite de fonctions numériques uniformément continues pour la structure uniforme gauche de G. Montrer qu'on peut construire H de manière que, de plus, les f, soient constantes sur les classes
suivant H. (Dans la construction précédente, prendre Vn tel que l'on ait
If,(x) - f,(y)j 6 l / n pour x-ly E Vn et pour 1 L i L n ) .
Soit (g,) une suite de fonctions numériques fi-intégrables sur G.
Montrer qu'on peut construire'H de manière que, de plus, chaque y,
soit égale presque partout à une fonction constante sur les classes
suivant H.
12) Soient K un corps localement compact non discret, E un espace
vectoriel topologique à gauche sur K.
a) Si E de dimension 1, E est isomorphe à K, (imiter la démonstration de la prop. 2 de Esp. vect. top., chap. 1, $ 2, no 2, en remplaçant
la valeur absolue par la fonction mod,).
b) Si E est de dimension n, E est isomorphe à Ky (imiter la démonstration du th. 2 de Esp. vect. top., chap. 1, fj 2, no 3).
c) On suppose E localement compact. Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie n de E. Pour tout a E K, soit mod,(a) le module
de x -+ ax dans E. Comme F est fermé dans E d'après b), on peut former
mod~/p(a). Montrer que mod,(a) = m~d,(a)~mod~~p(a). Montrer que,
si mod,(a) < 1 et si F # E, on a modEjF(a) < 1. (On a an - O quand
n - + CO ; en dBduire que modEIF(an) + O en raisonnant comme pour
la prop. 12 du no 10). En déduire que n L log mod,(l/a)/log mod,(l/a),
donc que E est de dimension finie.
(On verra en Alg. comm., chap. VI, que la topologie d'un corps