102
INTÉGRATION
chap. VII, 1
localement compact peut être définie par une valeur absolue. Le rCsult a t final de c) sera alors un cas particulier du th. 3 de Esp. vecf. top.,
chap. 1, § 2, no 4).
7 13) Soient G un groupe localement compact opérant continûment à gauche dans un espace localement compact polonais T,
une mesure de Haar à gauche sur G, v une mesure positive sur T quasiinvariante par G.
a ) Il existe une fonction (s, x) - ~ ( s ,
x) > O sur G x T, localement
(p 8 v)-intégrable, telle que, pour tout s E G , la fonction x -+ ~(s-l, x)
soit localement v-intégrable et vérifie y(s)v = ~ ( s - l , .) . v . (Montrer que
(s, x) -t (s, SX) transforme p ci3 v en une mesure équivalente, en utilisant
la Remarque du chap. V, 3 5, no 5 ; soit ~ ( s - l , x)dp(s)dv(x) cette mesure
équivalente. Pour cp E Z(G) et Ji E Z(T), on a
d'oh +(sx)dv(x) = +(x)x(s-~, x)dv(x) sauf sur un ensemble localeJ
J
ment (3-négligeable N(+). Utiliser alors le lemme 1 du chap. VI, 8 3,
no 1 ; puis modifier x sur un ensemble (P @ v)-négligeable).
b ) Montrer que, quels que soient s, t dans Gy on a
sauf sur un ensemble V-négligeable de valeurs de x (utiliser la relation
y(st)v = y(s)(y(t)v)).
c) Montrer que la fonction x de a) est déterminée à un ensemble
localement ((3 ci3 v)-négligeable près de G x T.
TI 14) Soient T un espace localement compact,
une structure
uniforme sur T pour laquelle il existe un entourage V, tel que V,(t)
soit compact pour tout t E T (Top. gén., chap. II, 3" éd., 3 4, exerc. 9).
Soit d'autre part I ' un groupe uniformément équicontinu d'homéomorphismes de T (pour la structure uniforme a), tel qu'il existe a E T
dont l'orbite par r soit partout dense. Montrer qu'il existe sur T une
mesure positive # O invariante par I ' , et que cette mesure est unique
un facteur constant près. On pourra procéder comme suit:
1 0 E n ce qui concerne l'existence de la mesure invariante, suivre
la méthode du no 2, th. 1 ; on prouvera d'abord que si K est une partie
compacte de T et U un voisinage ouvert de a, il existe un nombre fini
dy61éments a, c l? tels que K C U oi(U).
i
20 E n ce qui concerne l'unicité, remarquer d'abord que les entourages de a qui sont invariants par tout homéomorphisme 0 x o de
T x T, pour o E r, forment un système fondamental d'entourages 6.
Pour tout ensemble relativement compact ACT et tout ensemble relativement compact BcT d'intérieur non vide, soit (A : B) le plus petit
nombre d'éléments d'un recouvrement de A formé d'ensembles de la
forme OB, où o E l? ; si CCT est un troisième ensemble relativement
compact d'intérieur non vide, on a (A : C) d (A : B)(B : C). Soient K
une partie compacte de T, L 3 K un ensemble ouvert relativement
INTÉGRATION
chap. VII, 1
localement compact peut être définie par une valeur absolue. Le rCsult a t final de c) sera alors un cas particulier du th. 3 de Esp. vecf. top.,
chap. 1, § 2, no 4).
7 13) Soient G un groupe localement compact opérant continûment à gauche dans un espace localement compact polonais T,
une mesure de Haar à gauche sur G, v une mesure positive sur T quasiinvariante par G.
a ) Il existe une fonction (s, x) - ~ ( s ,
x) > O sur G x T, localement
(p 8 v)-intégrable, telle que, pour tout s E G , la fonction x -+ ~(s-l, x)
soit localement v-intégrable et vérifie y(s)v = ~ ( s - l , .) . v . (Montrer que
(s, x) -t (s, SX) transforme p ci3 v en une mesure équivalente, en utilisant
la Remarque du chap. V, 3 5, no 5 ; soit ~ ( s - l , x)dp(s)dv(x) cette mesure
équivalente. Pour cp E Z(G) et Ji E Z(T), on a
d'oh +(sx)dv(x) = +(x)x(s-~, x)dv(x) sauf sur un ensemble localeJ
J
ment (3-négligeable N(+). Utiliser alors le lemme 1 du chap. VI, 8 3,
no 1 ; puis modifier x sur un ensemble (P @ v)-négligeable).
b ) Montrer que, quels que soient s, t dans Gy on a
sauf sur un ensemble V-négligeable de valeurs de x (utiliser la relation
y(st)v = y(s)(y(t)v)).
c) Montrer que la fonction x de a) est déterminée à un ensemble
localement ((3 ci3 v)-négligeable près de G x T.
TI 14) Soient T un espace localement compact,
une structure
uniforme sur T pour laquelle il existe un entourage V, tel que V,(t)
soit compact pour tout t E T (Top. gén., chap. II, 3" éd., 3 4, exerc. 9).
Soit d'autre part I ' un groupe uniformément équicontinu d'homéomorphismes de T (pour la structure uniforme a), tel qu'il existe a E T
dont l'orbite par r soit partout dense. Montrer qu'il existe sur T une
mesure positive # O invariante par I ' , et que cette mesure est unique
un facteur constant près. On pourra procéder comme suit:
1 0 E n ce qui concerne l'existence de la mesure invariante, suivre
la méthode du no 2, th. 1 ; on prouvera d'abord que si K est une partie
compacte de T et U un voisinage ouvert de a, il existe un nombre fini
dy61éments a, c l? tels que K C U oi(U).
i
20 E n ce qui concerne l'unicité, remarquer d'abord que les entourages de a qui sont invariants par tout homéomorphisme 0 x o de
T x T, pour o E r, forment un système fondamental d'entourages 6.
Pour tout ensemble relativement compact ACT et tout ensemble relativement compact BcT d'intérieur non vide, soit (A : B) le plus petit
nombre d'éléments d'un recouvrement de A formé d'ensembles de la
forme OB, où o E l? ; si CCT est un troisième ensemble relativement
compact d'intérieur non vide, on a (A : C) d (A : B)(B : C). Soient K
une partie compacte de T, L 3 K un ensemble ouvert relativement