s 1
EXERCICES
103
compact, V E G un entourage ouvert symétrique contenu dans V,
e t tel que V(K)cL, W E G un entourage fermé symétrique contenu
dans V. Pour tûut entourage symétrique U E G tel que UWCV et
WUCV, montrer que, pour toute mesure positive v sur T, invariante
par I ' , on a
On prouvera pour cela que si (ai(U(a))) est un recouvrement de L formé
de (L : U(a)) ensembles, tout x E K appartient à au moins (W(a) : U(a))
ensembles de la forme o,(V(a)), et que tout y E L appartient au plus
h (V(a) : U(a)) ensembles de la forme a,(W(a)) (noter que si y E ai(W(a)),
q(U(a)) est contenu dans V(x)).
Soit
un ultrafiltre plus fin que le filtre des sections de 6 ; soit
A, une partie ouverte relativement compacte non vide de T, et posons
%(A) = (A : U(a))/(A, : U(a)) pour tout entourage symétrique U E G
et toute partie relativement compacte A de T. Soit A(A) = limgAU(A) ;
pour toute partie compacte K de T, posons A1(K) = inf A(B), lorsque
B parcourt l'ensemble des voisinages ouverts relativement compacts
de K. Déduire de (1) et (2) que l'on a
En conclure que si KI, K2 sont deux parties compactes de T,
L,DK,, L,DK, deux ensembles ouverts relativement compacts, on a
et finalement que A1(K1)v(K2) = A1(KZ)v(Kl).
715) Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe
fermé de G, de sorte que G opère continûment dans G/H. On suppose
que H vérifie la condition suivante : pour tout voisinage V de e dans G,
il existe un voisinage U de e tel que HUCVH (noter que cette condition
est vérifiée pour tout sous-groupe H de G si e admet un système fondamental de voisinages invariants par tout automorphisme intérieur de
G). Montrer qu'il existe alors sur G/H une mesure positive non nulle
invariante par G. (On utilisera la même méthode que dans la démonstration du th. 1 du no 2, en remarquant, d'une part que lorsque U
parcourt l'ensemble des voisinages de e dans G, les images des ensembles
HUH par l'application canonique TC : G -. G/H forment un système
fondamental de voisinages de x(H) ; d'autre part, pour tout voisinage
V de e dans G et toute partie compacte K de G, il existe un voisinage
U de e dans G et une partie compacte L de G tels que tout ensemble
de la forme sHUH qui rencontre K H soit de la forme s'HUH, avec
s' E L).
716) Soient G un groupe abélien compact, E une partie dense
de G, stable pour la loi de composition de G. On suppose que, pour
toute fonction numérique bornée f sur E, on ait défini un nombre M(f)
ayant la propriété suivante : quelles que soient les deux fonctions bornées f , g sur E, les éléments ai, b , de E (1 < i < m, 1 , ( k < n),
EXERCICES
103
compact, V E G un entourage ouvert symétrique contenu dans V,
e t tel que V(K)cL, W E G un entourage fermé symétrique contenu
dans V. Pour tûut entourage symétrique U E G tel que UWCV et
WUCV, montrer que, pour toute mesure positive v sur T, invariante
par I ' , on a
On prouvera pour cela que si (ai(U(a))) est un recouvrement de L formé
de (L : U(a)) ensembles, tout x E K appartient à au moins (W(a) : U(a))
ensembles de la forme o,(V(a)), et que tout y E L appartient au plus
h (V(a) : U(a)) ensembles de la forme a,(W(a)) (noter que si y E ai(W(a)),
q(U(a)) est contenu dans V(x)).
Soit
un ultrafiltre plus fin que le filtre des sections de 6 ; soit
A, une partie ouverte relativement compacte non vide de T, et posons
%(A) = (A : U(a))/(A, : U(a)) pour tout entourage symétrique U E G
et toute partie relativement compacte A de T. Soit A(A) = limgAU(A) ;
pour toute partie compacte K de T, posons A1(K) = inf A(B), lorsque
B parcourt l'ensemble des voisinages ouverts relativement compacts
de K. Déduire de (1) et (2) que l'on a
En conclure que si KI, K2 sont deux parties compactes de T,
L,DK,, L,DK, deux ensembles ouverts relativement compacts, on a
et finalement que A1(K1)v(K2) = A1(KZ)v(Kl).
715) Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe
fermé de G, de sorte que G opère continûment dans G/H. On suppose
que H vérifie la condition suivante : pour tout voisinage V de e dans G,
il existe un voisinage U de e tel que HUCVH (noter que cette condition
est vérifiée pour tout sous-groupe H de G si e admet un système fondamental de voisinages invariants par tout automorphisme intérieur de
G). Montrer qu'il existe alors sur G/H une mesure positive non nulle
invariante par G. (On utilisera la même méthode que dans la démonstration du th. 1 du no 2, en remarquant, d'une part que lorsque U
parcourt l'ensemble des voisinages de e dans G, les images des ensembles
HUH par l'application canonique TC : G -. G/H forment un système
fondamental de voisinages de x(H) ; d'autre part, pour tout voisinage
V de e dans G et toute partie compacte K de G, il existe un voisinage
U de e dans G et une partie compacte L de G tels que tout ensemble
de la forme sHUH qui rencontre K H soit de la forme s'HUH, avec
s' E L).
716) Soient G un groupe abélien compact, E une partie dense
de G, stable pour la loi de composition de G. On suppose que, pour
toute fonction numérique bornée f sur E, on ait défini un nombre M(f)
ayant la propriété suivante : quelles que soient les deux fonctions bornées f , g sur E, les éléments ai, b , de E (1 < i < m, 1 , ( k < n),