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INTÉGRATION
chap. VII, 5 1
les nombres réels a i , Bk (1 < i < m, 1 < k < n) tels que l'on ait
pour tout x E E, alors il en résulte l'inégalité
On suppose en outre que M(1) = 1 (cf. Esp. vect. top., chap. II,
Appendice).
a) Soit p la mesure de Haar normalisée sur G. Montrer que pour
toute fonction numérique continue f sur G, on a fdp = M(f1E). (En
S
considérant une partition de l'unité convenable, approcher arbitrairement la fonction constante égale B [ f d p dans E par des fonctions
de la forme x - 2 a,f(xa,), où a, E E.)
i
b) Déduire de a) que si l'on pose v(B) = M(qB) pour toute partie
B de E, alors, pour toute partie ouverte U de G, on a v(U il E) 2 p(U),
et pour toute partie fermée F de G, v(F fl E) < p(F). Pour toute partie
y-quarrable P de G (chap. IV, O 5, exerc. 13 d)), on a v(P i l E) = p(P).
f 17) Soient T un espace localement compact, S une partie de T
munie d'une loi de composition (x, y) - xy qui en fait un monoïde
(n'ayant pas nécessairement a priori d'élément neutre), et qui est continue dans S x S lorsque S est muni de la topologie induite par celle
de T. On suppose en outre que tout élément de S est régulier (Alg.,
chap. 1, $ 2, no 2). Soit p une mesure positive bornée sur T, concentrée
sur S (de sorte que S est p-mesurable) et de masse totale 1. On suppose
,
u invariante à gauche au sens suivant : pour toute fonction numérique
f définie dans S, continue et bornée (donc p-mesurable en vertu du
chap. IV, $ 5, no 5, prop. 9), on a f(sx)dp(x) = f(x)dp(x) pour
K de S, on a p(sK) = p(K).
S
S
tout s E S. Il revient au même de dire que pour toute partie compacte
a) On considère sur T x T la mesure produit y 8 y ; montrer
qu'il existe des parties compactes K de S telles que les images de K x K
par les deux applications continues (x, y) - (x, xy) et (x, y) - (xy, x)
aient une mesure arbitrairement voisine de 1 (utiliser le th. de LebesgueFubini). E n conclure que ces images ont un point commun, et déduire
de là que S possède un élément neutre (cf. Alg., chap. 1, 3 2, exerc. 9).
b) Montrer que S est un groupe compact. (Pour tout x E S, prouver
d'abord que la mesure intérieure p,(xS) est égale à 1, donc que XS est
mesurable et que la mesure est concentrée sur xS ; xS est alors un
monoïde auquel on peut appliquer le résultat de a), ce qui montre que
S est un groupe. Raisonner comme dans la prop. 2 pour prouver que
S est compact. Enfin, utiliser l'exerc. 21 de Top. gén., chap. III, 3e éd.,
O 4).
INTÉGRATION
chap. VII, 5 1
les nombres réels a i , Bk (1 < i < m, 1 < k < n) tels que l'on ait
pour tout x E E, alors il en résulte l'inégalité
On suppose en outre que M(1) = 1 (cf. Esp. vect. top., chap. II,
Appendice).
a) Soit p la mesure de Haar normalisée sur G. Montrer que pour
toute fonction numérique continue f sur G, on a fdp = M(f1E). (En
S
considérant une partition de l'unité convenable, approcher arbitrairement la fonction constante égale B [ f d p dans E par des fonctions
de la forme x - 2 a,f(xa,), où a, E E.)
i
b) Déduire de a) que si l'on pose v(B) = M(qB) pour toute partie
B de E, alors, pour toute partie ouverte U de G, on a v(U il E) 2 p(U),
et pour toute partie fermée F de G, v(F fl E) < p(F). Pour toute partie
y-quarrable P de G (chap. IV, O 5, exerc. 13 d)), on a v(P i l E) = p(P).
f 17) Soient T un espace localement compact, S une partie de T
munie d'une loi de composition (x, y) - xy qui en fait un monoïde
(n'ayant pas nécessairement a priori d'élément neutre), et qui est continue dans S x S lorsque S est muni de la topologie induite par celle
de T. On suppose en outre que tout élément de S est régulier (Alg.,
chap. 1, $ 2, no 2). Soit p une mesure positive bornée sur T, concentrée
sur S (de sorte que S est p-mesurable) et de masse totale 1. On suppose
,
u invariante à gauche au sens suivant : pour toute fonction numérique
f définie dans S, continue et bornée (donc p-mesurable en vertu du
chap. IV, $ 5, no 5, prop. 9), on a f(sx)dp(x) = f(x)dp(x) pour
K de S, on a p(sK) = p(K).
S
S
tout s E S. Il revient au même de dire que pour toute partie compacte
a) On considère sur T x T la mesure produit y 8 y ; montrer
qu'il existe des parties compactes K de S telles que les images de K x K
par les deux applications continues (x, y) - (x, xy) et (x, y) - (xy, x)
aient une mesure arbitrairement voisine de 1 (utiliser le th. de LebesgueFubini). E n conclure que ces images ont un point commun, et déduire
de là que S possède un élément neutre (cf. Alg., chap. 1, 3 2, exerc. 9).
b) Montrer que S est un groupe compact. (Pour tout x E S, prouver
d'abord que la mesure intérieure p,(xS) est égale à 1, donc que XS est
mesurable et que la mesure est concentrée sur xS ; xS est alors un
monoïde auquel on peut appliquer le résultat de a), ce qui montre que
S est un groupe. Raisonner comme dans la prop. 2 pour prouver que
S est compact. Enfin, utiliser l'exerc. 21 de Top. gén., chap. III, 3e éd.,
O 4).