5 l
EXERCICES
1 05
18) Soient X un espace localement compact, G un groupe compact
opérant continûment dans X, E l'orbite d'un point de X, 9 un espace
vectoriel de fonctions numériques continues dans X, tel que, pour
toute fonction f E
et tout s E G, on ait y(s)f €9 ; on suppose en
outre que 9 contienne les fonctions constantes dans X. Soit xo E X
un point invariant par G et tel que l'on ait If(xo)l A sup ]f(y)l pour
Y ~ E
toute fonction f E 9. Montrer alors que l'on a f(x ) -
f(s .z)ds pour
O -1,
tout z E E et toute f E 9". (Montrer qu'il existe une mesure positive v
sur E, de masse totale 1, telle que f(x) - f(z)dv(z) pour toute
O
-S,
f E 9 et appliquer le th. de Lebesgue-Fubini). *Cas où X = Rn, G est
le groupe orthogonal, et xo = O ; appliquer la formule (7) du 2*.
19) Soient X un espace compact, A une algèbre normée sur R,
ayant un élément unité, G un groupe compact ; on suppose que G opère
continûment dans A et dans X et que, pour tout s E G, a -+ s . a est un
automorphisme de l'algèbre A tel que Ils.all = llall pour tout a EA.
On dit qu'une application f de X dans A est covariante par G si
pour tout s E G et tout x E X . Soit B un sous-anneau de A x formé de
fonctions continues covariantes et contenant toutes les applications continues covariantes de X dans R (R étant identifié à une sous-algèbre de A ;
on notera que pour une telle application g, on a g(s. x) = g(x) pour tout
s E G et tout x EX). Soit f une application continue covariante de X
dans A, et supposons que, pour tout y E X , il existe une application
g, E B telle que f(y) = g,(y). Alors, pour tout E > O, il existe une application g E B telle que llf(x) - g(x)ll E pour tout x E X. (Utiliser une
partition continue de l'unité convenable (qi) sur X et introduire les
fonctions hé telles que hi(.) =
cp,(s.x)ds).
1,
7 20) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de
Haar à gauche sur G, A et B deux parties de G.
a ) On suppose vérifiée une des deux conditions suivantes:
a) A est p-intégrable ;
p) p*(A) < + rn et B est p-mesurable.
Montrer que, dans chacun de ces deux cas, la fonction f(s) = p*(sA I l B)
est uniformément continue dans G pour la structure uniforme droite
de G. (Pour deux parties M, N de G, on pose
Considérer d'abord le cas ou A est compact ; utilisant le chap. IV,
3 4, no 6, th. 4, montrer que, pour tout a > O, il existe un voisinage U
de e dans G tel que, pour tout s E G et tout t E U , on ait
Appliquer alors l'exerc. 9 du chap. IV,
5. Si B est p-mesurable, si
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18) Soient X un espace localement compact, G un groupe compact
opérant continûment dans X, E l'orbite d'un point de X, 9 un espace
vectoriel de fonctions numériques continues dans X, tel que, pour
toute fonction f E
et tout s E G, on ait y(s)f €9 ; on suppose en
outre que 9 contienne les fonctions constantes dans X. Soit xo E X
un point invariant par G et tel que l'on ait If(xo)l A sup ]f(y)l pour
Y ~ E
toute fonction f E 9. Montrer alors que l'on a f(x ) -
f(s .z)ds pour
O -1,
tout z E E et toute f E 9". (Montrer qu'il existe une mesure positive v
sur E, de masse totale 1, telle que f(x) - f(z)dv(z) pour toute
O
-S,
f E 9 et appliquer le th. de Lebesgue-Fubini). *Cas où X = Rn, G est
le groupe orthogonal, et xo = O ; appliquer la formule (7) du 2*.
19) Soient X un espace compact, A une algèbre normée sur R,
ayant un élément unité, G un groupe compact ; on suppose que G opère
continûment dans A et dans X et que, pour tout s E G, a -+ s . a est un
automorphisme de l'algèbre A tel que Ils.all = llall pour tout a EA.
On dit qu'une application f de X dans A est covariante par G si
pour tout s E G et tout x E X . Soit B un sous-anneau de A x formé de
fonctions continues covariantes et contenant toutes les applications continues covariantes de X dans R (R étant identifié à une sous-algèbre de A ;
on notera que pour une telle application g, on a g(s. x) = g(x) pour tout
s E G et tout x EX). Soit f une application continue covariante de X
dans A, et supposons que, pour tout y E X , il existe une application
g, E B telle que f(y) = g,(y). Alors, pour tout E > O, il existe une application g E B telle que llf(x) - g(x)ll E pour tout x E X. (Utiliser une
partition continue de l'unité convenable (qi) sur X et introduire les
fonctions hé telles que hi(.) =
cp,(s.x)ds).
1,
7 20) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de
Haar à gauche sur G, A et B deux parties de G.
a ) On suppose vérifiée une des deux conditions suivantes:
a) A est p-intégrable ;
p) p*(A) < + rn et B est p-mesurable.
Montrer que, dans chacun de ces deux cas, la fonction f(s) = p*(sA I l B)
est uniformément continue dans G pour la structure uniforme droite
de G. (Pour deux parties M, N de G, on pose
Considérer d'abord le cas ou A est compact ; utilisant le chap. IV,
3 4, no 6, th. 4, montrer que, pour tout a > O, il existe un voisinage U
de e dans G tel que, pour tout s E G et tout t E U , on ait
Appliquer alors l'exerc. 9 du chap. IV,
5. Si B est p-mesurable, si