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INTÉGRATION
chap. VII, $ 1
y*(A) c + CO et si (A,) est une suite décroissante de parties intégrables
de G contenant A et telle que inf(p(A,)) = p*(A), montrer que
p*(sA n B) = inf(p*(sA, n B))
(chap. V, 3 2, no 2, lemme 1) ; noter d'autre part que p(A, -A,+,)
tend vers O avec lin).
b) Si A est p-intégrable et si p*(B) < 4- co, la fonction f est uniformément continue pour les deux structures uniformes droite et gauche
de G ; en outre on a alors
f(s)dp(s) = p(A-*)y*(B). (Se ramener
1,
au cas oh B est intégrable ; observer alors que y(sA n B) = y(A s-lB),
que c P s a n ~ =. 'PsA~PB et que
de AB et de BA ne sont pas vides. (Cf. chap. VIII, § 4, no 6, prop. 17).
d) Dans le groupe G = SL,(R), donner un exemple d'un ensemble
compact A et d'un ensemble p-mesurable B tels que f(s) = y(sA Cl B)
ne soit pas uniformément continue pour la structure uniforme gauche.
(Observer qu'il existe une suite (t,) d'éléments de G tendant vers e
et une suite ( s, ) d'éléments de G telles que la suite (snlt,s,) tende vers
le point à l'infini).
e ) Donner un exemple de deux ensembles non mesurables A, B
dans un groupe localement compact G, .de mesure extérieure finie,
et tels que la fonction s -. p*(sAnB) ne soit pas continue (cf. chap. IV,
3 4, exerc. 8).
21) a) Soient G un groupe localement compact, y une mesure
de Haar à gauche sur G. Montrer que si S est une partie stable de G telle
que p*(S) > 0, l'intérieur de S n'est pas vide (cf. exerc. 20). E n particulier, si un sous-groupe H de G a une mesure intérieure non nulle,
H est un sous-groupe ouvert de G.
b ) Si G est compact, toute partie stable S de G telle que p*(S) > O
est un sous-groupe ouvert compact de G (observer que l'intérieur de S
est stable, et utiliser l'exerc. 17 b)).
c ) On suppose que G est compact et commutatif, noté additivement, et qu'il existe dans G un élément a d'ordre infini. Montrer qu'il
existe une partie stable S de G telle que a E S, - a 6 S, et G = SU (- S)
(utiliser le théorème de Zorn) ; déduire de b) que S n'est pas mesurable
et que p*(S) = O.
22) Soient G un groupe localement compact, y une mesure de Haar
à gauche sur G, A une partie intégrable de G telle que p(A) > O. Montrer que l'ensemble H(A) des s E G tels que p(A) = ~ ( A f i s A ) est un
groupe compact. (Observer que H(A) est fermé dans G à l'aide de I'exerc.
20. Pour voir que H(A) est compact, considérer une partie compacte
B de A telle que p(B) > p(A)/2 et prouver que H(A)cBB-l).
f 23) Soient G un groupe commutatif localement compact, noté
additivement, p une mesure de Haar sur G, A, B deux parties intégrables de G.
a) Pour tout s E G, soient
Ar = o,(A,B) = AU(B f s), Br = T~(A,B) = (A - s ) ~ B .
Montrer que l'on a y(Ar) + p(Br) = p(A) + p(B) e t A' + B r c A + B.
INTÉGRATION
chap. VII, $ 1
y*(A) c + CO et si (A,) est une suite décroissante de parties intégrables
de G contenant A et telle que inf(p(A,)) = p*(A), montrer que
p*(sA n B) = inf(p*(sA, n B))
(chap. V, 3 2, no 2, lemme 1) ; noter d'autre part que p(A, -A,+,)
tend vers O avec lin).
b) Si A est p-intégrable et si p*(B) < 4- co, la fonction f est uniformément continue pour les deux structures uniformes droite et gauche
de G ; en outre on a alors
f(s)dp(s) = p(A-*)y*(B). (Se ramener
1,
au cas oh B est intégrable ; observer alors que y(sA n B) = y(A s-lB),
que c P s a n ~ =. 'PsA~PB et que
de AB et de BA ne sont pas vides. (Cf. chap. VIII, § 4, no 6, prop. 17).
d) Dans le groupe G = SL,(R), donner un exemple d'un ensemble
compact A et d'un ensemble p-mesurable B tels que f(s) = y(sA Cl B)
ne soit pas uniformément continue pour la structure uniforme gauche.
(Observer qu'il existe une suite (t,) d'éléments de G tendant vers e
et une suite ( s, ) d'éléments de G telles que la suite (snlt,s,) tende vers
le point à l'infini).
e ) Donner un exemple de deux ensembles non mesurables A, B
dans un groupe localement compact G, .de mesure extérieure finie,
et tels que la fonction s -. p*(sAnB) ne soit pas continue (cf. chap. IV,
3 4, exerc. 8).
21) a) Soient G un groupe localement compact, y une mesure
de Haar à gauche sur G. Montrer que si S est une partie stable de G telle
que p*(S) > 0, l'intérieur de S n'est pas vide (cf. exerc. 20). E n particulier, si un sous-groupe H de G a une mesure intérieure non nulle,
H est un sous-groupe ouvert de G.
b ) Si G est compact, toute partie stable S de G telle que p*(S) > O
est un sous-groupe ouvert compact de G (observer que l'intérieur de S
est stable, et utiliser l'exerc. 17 b)).
c ) On suppose que G est compact et commutatif, noté additivement, et qu'il existe dans G un élément a d'ordre infini. Montrer qu'il
existe une partie stable S de G telle que a E S, - a 6 S, et G = SU (- S)
(utiliser le théorème de Zorn) ; déduire de b) que S n'est pas mesurable
et que p*(S) = O.
22) Soient G un groupe localement compact, y une mesure de Haar
à gauche sur G, A une partie intégrable de G telle que p(A) > O. Montrer que l'ensemble H(A) des s E G tels que p(A) = ~ ( A f i s A ) est un
groupe compact. (Observer que H(A) est fermé dans G à l'aide de I'exerc.
20. Pour voir que H(A) est compact, considérer une partie compacte
B de A telle que p(B) > p(A)/2 et prouver que H(A)cBB-l).
f 23) Soient G un groupe commutatif localement compact, noté
additivement, p une mesure de Haar sur G, A, B deux parties intégrables de G.
a) Pour tout s E G, soient
Ar = o,(A,B) = AU(B f s), Br = T~(A,B) = (A - s ) ~ B .
Montrer que l'on a y(Ar) + p(Br) = p(A) + p(B) e t A' + B r c A + B.