§ l
EXERCICES
1 07
b) On suppose que O appartient à AflB. On dit qu'un couple
(A', B') de parties intégrables de G est dérivé de (A, B) s'il existe une
suite ( s , ) , ~ , ~ , d'éléments de G et deux suites (A,)oGkG,, (B,),<,G, de
parties de G telles que A, = A, Bo = B, Ak = oSr(Ak-,, Bk-1), Bk =
7,,(Ak-,, Bk-,) pour 1 < k < n, sk E A,-, pour 1 , ( k < n, et A' = A,,
Br = B,. Montrer qu'il existe une suite de couples (En, F,) tels que
E, = A, F, = B, que (En+, , F,,,) soit dérivé de (En, F,) et que l'on
ait p((E, - s ) n F,) 2 p(F,+,) - 2-, pour tout n et tout s E En. On
pose E m = U En, F m = n , . Montrer que, pour tout s E E m , on a
c) On suppose que p(Fm) > O. Montrer que la fonction
ne peut prendre que les valeurs O et p(Fm) et que l'ensemble C des
s E G tels que f(s) = p(Fm) est ouvert et fermé, tel que p(C) = p(Em),
et est l'adhérence de E m (utiliser l'exerc. 20 a) et b)). Soit d'autre part
D l'ensemble des s E F m tels que l'intersection de F m et de tout voisinage de s soit de mesure > O. Montrer que p(D) = p(Fm) et que
en déduire que D est contenu dans le sous-groupe H(C) défini dans
l'exerc. 22, et que H(C) est compact et ouvert dans G. Montrer enfin
que C + WC) = C , que p(C) > p(A) 4- p(B) - p(H(C)) et que
CCA + B (considérer la mesure de E, fl (c - Fm) pour tout c E C ) .
d) Déduire de c) que, pour deux parties intégrables A, B de G :
ou bien on a p,(A + B) >, p(A) + p(B) ; ou bien il existe un sous-groupe
ouvert compact H de G tel que A + B contienne une classe mod. H,
et alors p*(A + B) > p(A) + p(B) - p(H). Cas où G est connexe.
7 24) a) Dans R, soit A (resp. B) l'ensemble des nombres x dont le
m
développement dyadique propre x = x, + 2 xi2-< (z, entier, xi = O
i = l
ou x, = 1 pour i >, 1) est tel que xi = O pour i pair > O (resp. i impair).
Montrer que, pour la mesure de Lebesgue, A et B sont de mesure nulle,
mais A + B = R.
b) Déduire de a) qu'il existe une base H de R (sur Q) contenue
dans AUB, donc de mesure nulle. L'ensemble P, des nombres rh, où
r E Q e t h E H, est aussi de mesure nulle.
c) On désigne par P, l'ensemble des nombres réels dont au plus
n coordonnées relatives à la base H sont non nulles. Montrer que si
P, est négligeable et si P,,, est mesurable, alors P,,, est négligeable.
(Soit ho E H ; montrer d'abord que l'ensemble S des x E P,,, dont la
coordonnée relative à ho est # 0, est négligeable. Utilisant l'exerc. 20,
montrer que, si P,+, n'était pas négligeable, il existerait deux points
distincts x', X" de P,+,fl C S tels que (x' - x")/ho soit rationnel, et en
déduire une contradiction).
EXERCICES
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b) On suppose que O appartient à AflB. On dit qu'un couple
(A', B') de parties intégrables de G est dérivé de (A, B) s'il existe une
suite ( s , ) , ~ , ~ , d'éléments de G et deux suites (A,)oGkG,, (B,),<,G, de
parties de G telles que A, = A, Bo = B, Ak = oSr(Ak-,, Bk-1), Bk =
7,,(Ak-,, Bk-,) pour 1 < k < n, sk E A,-, pour 1 , ( k < n, et A' = A,,
Br = B,. Montrer qu'il existe une suite de couples (En, F,) tels que
E, = A, F, = B, que (En+, , F,,,) soit dérivé de (En, F,) et que l'on
ait p((E, - s ) n F,) 2 p(F,+,) - 2-, pour tout n et tout s E En. On
pose E m = U En, F m = n , . Montrer que, pour tout s E E m , on a
c) On suppose que p(Fm) > O. Montrer que la fonction
ne peut prendre que les valeurs O et p(Fm) et que l'ensemble C des
s E G tels que f(s) = p(Fm) est ouvert et fermé, tel que p(C) = p(Em),
et est l'adhérence de E m (utiliser l'exerc. 20 a) et b)). Soit d'autre part
D l'ensemble des s E F m tels que l'intersection de F m et de tout voisinage de s soit de mesure > O. Montrer que p(D) = p(Fm) et que
en déduire que D est contenu dans le sous-groupe H(C) défini dans
l'exerc. 22, et que H(C) est compact et ouvert dans G. Montrer enfin
que C + WC) = C , que p(C) > p(A) 4- p(B) - p(H(C)) et que
CCA + B (considérer la mesure de E, fl (c - Fm) pour tout c E C ) .
d) Déduire de c) que, pour deux parties intégrables A, B de G :
ou bien on a p,(A + B) >, p(A) + p(B) ; ou bien il existe un sous-groupe
ouvert compact H de G tel que A + B contienne une classe mod. H,
et alors p*(A + B) > p(A) + p(B) - p(H). Cas où G est connexe.
7 24) a) Dans R, soit A (resp. B) l'ensemble des nombres x dont le
m
développement dyadique propre x = x, + 2 xi2-< (z, entier, xi = O
i = l
ou x, = 1 pour i >, 1) est tel que xi = O pour i pair > O (resp. i impair).
Montrer que, pour la mesure de Lebesgue, A et B sont de mesure nulle,
mais A + B = R.
b) Déduire de a) qu'il existe une base H de R (sur Q) contenue
dans AUB, donc de mesure nulle. L'ensemble P, des nombres rh, où
r E Q e t h E H, est aussi de mesure nulle.
c) On désigne par P, l'ensemble des nombres réels dont au plus
n coordonnées relatives à la base H sont non nulles. Montrer que si
P, est négligeable et si P,,, est mesurable, alors P,,, est négligeable.
(Soit ho E H ; montrer d'abord que l'ensemble S des x E P,,, dont la
coordonnée relative à ho est # 0, est négligeable. Utilisant l'exerc. 20,
montrer que, si P,+, n'était pas négligeable, il existerait deux points
distincts x', X" de P,+,fl C S tels que (x' - x")/ho soit rationnel, et en
déduire une contradiction).