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INTEGRATION
chap. VII, § 1
d) Déduire de a) e t b) qu'il existe dans R deux ensembles négligeables
C, D tels que C + D ne soit pas mesurable.
7 25) a) Soit f une fonction numérique positive définie dans R,
intégrable (pour la mesure de Lebesgue p sur R), bornée e t à support
compact. Soit y = sup f(t). Pour tout w ER, on désigne par U,(w)
&CR
l'ensemble des t E R tels que f ( t ) 2 w ; on pose v,(w) = y*(U,(w)).
Montrer que pour tout a > 1, on a
b ) Soit y une seconde fonction numérique vérifiant les mêmes
conditions que f, et posons 6 = sup g(f). Soit h la fonction définie
teR
dans R2 par h(u, v) = f(u) + g(v) si f(u)g(v) # O, et h(u, v) = O dans le
cas contraire ; enfin, posons k(t) = sup h(u, u), de sorte que k est posiu+v=t
tive, intégrable, bornée et à support compact. Montrer que l'on a,
pour tout a > 1
(Observer que pour O < w < 1, on a U,(yw + 8w)~U,(yw) + U,(8w)
et utiliser a) et l'exerc. 23 d)).
c) Soient p, la mesure de Lebesgue dans Rn, A, B deux parties
intégrables de Rn. Montrer que l'on a (« inégalité de Brunn-Minkowski »)
(Se ramener au cas où A et B sont compacts. Raisonner alors par récurrence sur n en utilisant l'exerc. 23 d ) , le th. de Lebesgue-Fubini, l'inégalité prouvée dans b), ainsi que l'inégalité de Holder).
7 26) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de
Haar à gauche sur G, k un entier 3 1, A un ensemble intégrable. Montrer que, pour tout E > O , il existe un voisinage U de e dans G ayant
la propriété suivante : pour toute partie finie S de k éléments dans U,
l'ensemble des s E G tels que SSCA a une mesure > (1 - E)~(A). (Se
ramener au cas où A est compact et prendre U tel que
Pour toute partie finie H de G, on pose p(H) = Card (H) e t q(H) = 1
si H # 0, q(H) = O si H = % ; en évaluant les intégrales
montrer que si, pour h < k, on désigne par M, l'ensemble des s E G pour
lesquels Card (A f l sS) = h, on a
INTEGRATION
chap. VII, § 1
d) Déduire de a) e t b) qu'il existe dans R deux ensembles négligeables
C, D tels que C + D ne soit pas mesurable.
7 25) a) Soit f une fonction numérique positive définie dans R,
intégrable (pour la mesure de Lebesgue p sur R), bornée e t à support
compact. Soit y = sup f(t). Pour tout w ER, on désigne par U,(w)
&CR
l'ensemble des t E R tels que f ( t ) 2 w ; on pose v,(w) = y*(U,(w)).
Montrer que pour tout a > 1, on a
b ) Soit y une seconde fonction numérique vérifiant les mêmes
conditions que f, et posons 6 = sup g(f). Soit h la fonction définie
teR
dans R2 par h(u, v) = f(u) + g(v) si f(u)g(v) # O, et h(u, v) = O dans le
cas contraire ; enfin, posons k(t) = sup h(u, u), de sorte que k est posiu+v=t
tive, intégrable, bornée et à support compact. Montrer que l'on a,
pour tout a > 1
(Observer que pour O < w < 1, on a U,(yw + 8w)~U,(yw) + U,(8w)
et utiliser a) et l'exerc. 23 d)).
c) Soient p, la mesure de Lebesgue dans Rn, A, B deux parties
intégrables de Rn. Montrer que l'on a (« inégalité de Brunn-Minkowski »)
(Se ramener au cas où A et B sont compacts. Raisonner alors par récurrence sur n en utilisant l'exerc. 23 d ) , le th. de Lebesgue-Fubini, l'inégalité prouvée dans b), ainsi que l'inégalité de Holder).
7 26) Soient G un groupe localement compact, p une mesure de
Haar à gauche sur G, k un entier 3 1, A un ensemble intégrable. Montrer que, pour tout E > O , il existe un voisinage U de e dans G ayant
la propriété suivante : pour toute partie finie S de k éléments dans U,
l'ensemble des s E G tels que SSCA a une mesure > (1 - E)~(A). (Se
ramener au cas où A est compact et prendre U tel que
Pour toute partie finie H de G, on pose p(H) = Card (H) e t q(H) = 1
si H # 0, q(H) = O si H = % ; en évaluant les intégrales
montrer que si, pour h < k, on désigne par M, l'ensemble des s E G pour
lesquels Card (A f l sS) = h, on a