§ 1
EXERCICES
E n conclure que
h y(M,) , ( kc . p(A).
h-1
27) Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. On dit qu'une
partie P (resp. C) de X est un G-remplissage (resp. G-recouvrement)
si pour tout s # e dans G, on a s P n P =
(resp. si X = U SC).
SEC;
On appelle G-pavage une partie P qui est à la fois un G-remplissage
e t un G-recouvrement.
a) On suppose que X est localement compact, que G est dénombrable, opére continûment dans X, et qu'il existe une mesure positive
non nulle p sur X invariante par G. Soient P et C un G-remplissage
et un G-recouvrement qui sont p-intégrables. Montrer que p(C) 2 y(P).
(Remarquer que p(C) 2
p(C n sP)).
scG
b) On suppose en outre qu'il existe sur X une structure uniforme
compatible avec la topologie de X et admettant un systéme fondamental
6 d'entourages ouverts invariants par G. On désigne d'autre part par
A(G) la borne inférieure des nombres p(C) pour tous les G-recouvrements intégrables C de G. Soient V un entourage appartenant à 6,
et a E X tel que p(V(a)) > A(G) ; montrer qu'il existe s E G tel que
-1
s # e e t (a,sa) E V V.
c) On suppose que X est un groupe localement compact, p une
mesure de Haar à gauche, G un sous-groupe dénombrable de X opérant par translation à gauche. Avec la même définition de A(G) que
dans b), montrer que, si A est une partie intégrable de X telle que
y(A) > A(G), il existe s E Gfl AA-l tel que s # e. Cas particulier où
X = Rn, et oh G est un sous-groupe discret de rang n dans Rn : A(G)
est alors égal à la valeur absolue du déterminant d'une base de G sur
Z par rapport A la base canonique de Rn ; si A est un corps convexe
symétrique dans Rn tel que y(A) 2 2*A(G), montrer qu'il existe un
point de A n G distinct de O (« théort?me de Minkowski »).
d) Les hypothèses étant celles de a), soit f une fonction 2 O et
p-intégrable dans X. Montrer qu'il existe deux points a, b de X tels
n
grable dans X, il existe c E E tel que
g(x)dp(x) < g(c)p(E), et c' E E
tel que
g ( x ) d ~ ( ~ )
8 dc') P(E)).
SE
SE
7 28) Les hypothèses étant celles de l'exerc. 27 a), on suppose
en outre qu'il existe un G-pavage y-intégrable F.
a) Pour toute fonction numérique p-intkgrable f 2 O définie dans
X, on pose %) = f(sx), de sorte que xx)dp(x) = Jn f(x)dp(z)
SEG
B
EXERCICES
E n conclure que
h y(M,) , ( kc . p(A).
h-1
27) Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. On dit qu'une
partie P (resp. C) de X est un G-remplissage (resp. G-recouvrement)
si pour tout s # e dans G, on a s P n P =
(resp. si X = U SC).
SEC;
On appelle G-pavage une partie P qui est à la fois un G-remplissage
e t un G-recouvrement.
a) On suppose que X est localement compact, que G est dénombrable, opére continûment dans X, et qu'il existe une mesure positive
non nulle p sur X invariante par G. Soient P et C un G-remplissage
et un G-recouvrement qui sont p-intégrables. Montrer que p(C) 2 y(P).
(Remarquer que p(C) 2
p(C n sP)).
scG
b) On suppose en outre qu'il existe sur X une structure uniforme
compatible avec la topologie de X et admettant un systéme fondamental
6 d'entourages ouverts invariants par G. On désigne d'autre part par
A(G) la borne inférieure des nombres p(C) pour tous les G-recouvrements intégrables C de G. Soient V un entourage appartenant à 6,
et a E X tel que p(V(a)) > A(G) ; montrer qu'il existe s E G tel que
-1
s # e e t (a,sa) E V V.
c) On suppose que X est un groupe localement compact, p une
mesure de Haar à gauche, G un sous-groupe dénombrable de X opérant par translation à gauche. Avec la même définition de A(G) que
dans b), montrer que, si A est une partie intégrable de X telle que
y(A) > A(G), il existe s E Gfl AA-l tel que s # e. Cas particulier où
X = Rn, et oh G est un sous-groupe discret de rang n dans Rn : A(G)
est alors égal à la valeur absolue du déterminant d'une base de G sur
Z par rapport A la base canonique de Rn ; si A est un corps convexe
symétrique dans Rn tel que y(A) 2 2*A(G), montrer qu'il existe un
point de A n G distinct de O (« théort?me de Minkowski »).
d) Les hypothèses étant celles de a), soit f une fonction 2 O et
p-intégrable dans X. Montrer qu'il existe deux points a, b de X tels
n
grable dans X, il existe c E E tel que
g(x)dp(x) < g(c)p(E), et c' E E
tel que
g ( x ) d ~ ( ~ )
8 dc') P(E)).
SE
SE
7 28) Les hypothèses étant celles de l'exerc. 27 a), on suppose
en outre qu'il existe un G-pavage y-intégrable F.
a) Pour toute fonction numérique p-intkgrable f 2 O définie dans
X, on pose %) = f(sx), de sorte que xx)dp(x) = Jn f(x)dp(z)
SEG
B