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INTÉGRATION
chap. VII, 0 1
(8 2, no 10, prop. 15). Soit (fi)lGiGn une famille de fonctions numériques
O, p-intkgrables dans X ; on pose, pour i # j,
et e, = sup7,(z). Montrer qu'il existe au moins un couple d'indices
XEX
distincts (i, j ) tel que
(Minorer la somme
mij en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz).
i#j
En déduire que si
est une famille finie de G-remplissages
n
y-intégrables, et si
p(AJ > p(F), il existe un couple (i, j) d'indices
i = l
distincts et un s E G tels que p(Ais fl A,) > 0.
b) Si Go est un sous-groupe de G d'indice fini (G : Go) = h, et si
(s,, . . . , s,) est un systeme de représentants des classes à gauche rnod Go
dans G, Fo = U s,F est un Go-pavage.
l < i < h
c) Dans X = Rn, soit A un corps convexe symétrique ; soient ui :
n
(x*) +
c,xj, m formes linéaires sur X, à coefficients cij entiers (rn < n).
j=l
Montrer que, pour tout entier p 2 1 et tout nombre r >, O tel que
p(A)rn >, 2"prn, il existe un point x E rA, distinct de O et tel que ~ ~ ( 2 )
= O
(rnod. p) pour 1 < i < m (appliquer le th. de Minkowski au sousgroupe Go de Zn formé des z E Zn tels que ui(z) = O (rnod. p) pour
1 < i < m, et utiliser b)). Cas particulier ou n = 2, m = 1, et A est
défini par lzll < 1, lx, 1 < 1 (théorème de Thue).
7 29) a) Soient p un nombre premier ; il existe deux entiers a, b
tels que a2 + b2 + 1 E O (rnod. p) (Alg., chap. V, 11, no 5, cor. du
th. 3). Montrer qu'il existe des entiers x,, x,, x,, x, non tous nuls tels
que ax, + bx, = x, (rnod. p), bx, - ax, 2 x4 (mod. p) et
(même méthode que dans l'exerc. 28 c)). Montrer que y est divisible
par p, et en déduire que y = p.
b) Déduire de a) que tout entier n >, O est somme de quatre carrés
au plus (CC théorème de Lagrange » ; utiliser Alg., chap. IV, $ 2, exerc. 11).
30) Soient G un groupe localement compact, y une mesure de Haar
à gauche sur G, v une mesure bornée sur G. On suppose que l'application s -t y(s)v de G dans l'espace de Banach &(G) est continue. Montrer
que la mesure v est de base y. (Soit A une partie compacte p-négligeable
de G. En raisonnant comme pour la prop. 11, montrer que v(xA)= O
INTÉGRATION
chap. VII, 0 1
(8 2, no 10, prop. 15). Soit (fi)lGiGn une famille de fonctions numériques
O, p-intkgrables dans X ; on pose, pour i # j,
et e, = sup7,(z). Montrer qu'il existe au moins un couple d'indices
XEX
distincts (i, j ) tel que
(Minorer la somme
mij en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz).
i#j
En déduire que si
est une famille finie de G-remplissages
n
y-intégrables, et si
p(AJ > p(F), il existe un couple (i, j) d'indices
i = l
distincts et un s E G tels que p(Ais fl A,) > 0.
b) Si Go est un sous-groupe de G d'indice fini (G : Go) = h, et si
(s,, . . . , s,) est un systeme de représentants des classes à gauche rnod Go
dans G, Fo = U s,F est un Go-pavage.
l < i < h
c) Dans X = Rn, soit A un corps convexe symétrique ; soient ui :
n
(x*) +
c,xj, m formes linéaires sur X, à coefficients cij entiers (rn < n).
j=l
Montrer que, pour tout entier p 2 1 et tout nombre r >, O tel que
p(A)rn >, 2"prn, il existe un point x E rA, distinct de O et tel que ~ ~ ( 2 )
= O
(rnod. p) pour 1 < i < m (appliquer le th. de Minkowski au sousgroupe Go de Zn formé des z E Zn tels que ui(z) = O (rnod. p) pour
1 < i < m, et utiliser b)). Cas particulier ou n = 2, m = 1, et A est
défini par lzll < 1, lx, 1 < 1 (théorème de Thue).
7 29) a) Soient p un nombre premier ; il existe deux entiers a, b
tels que a2 + b2 + 1 E O (rnod. p) (Alg., chap. V, 11, no 5, cor. du
th. 3). Montrer qu'il existe des entiers x,, x,, x,, x, non tous nuls tels
que ax, + bx, = x, (rnod. p), bx, - ax, 2 x4 (mod. p) et
(même méthode que dans l'exerc. 28 c)). Montrer que y est divisible
par p, et en déduire que y = p.
b) Déduire de a) que tout entier n >, O est somme de quatre carrés
au plus (CC théorème de Lagrange » ; utiliser Alg., chap. IV, $ 2, exerc. 11).
30) Soient G un groupe localement compact, y une mesure de Haar
à gauche sur G, v une mesure bornée sur G. On suppose que l'application s -t y(s)v de G dans l'espace de Banach &(G) est continue. Montrer
que la mesure v est de base y. (Soit A une partie compacte p-négligeable
de G. En raisonnant comme pour la prop. 11, montrer que v(xA)= O