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EXERCICES
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pour des x parcourant une partie partout dense de G. En déduire que
v(A) = 0).
Réciproquement, si v est de base p, l'application s -+ y(s)v de G
dans A * ( G ) est continue: cf. chap. VIII, 5 2, no 5, prop. 8.
1) Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe
fermé de G. Pour E E H , posons x(E) = AH(E)AG(<)-l. On considère H
comme opérant à droite sur G par translations. Montrer qu'il existe
sur S ( G ) une forme linéaire positive non nulle 1 et, à un facteur constant près, une seule, qui soit invariante par translation à gauche.
(Utiliser la prop. 3 avec X = G, en prenant pour p une mesure de
Haar à gauche de G).
2) Soient X et Xi deux espaces localement compacts dans lesquels un groupe localement compact H opére à droite, continûment
e t proprement. Soit 0 une application continue propre de X dans Xi,
compatible avec l'application identique de H (Top. gén., chap. III,
3e éd., 5 2, no 4), et soit O' : X/H -+ X'/H l'application déduite de 0
par passage aux quotients. Soit f' une fonction continue sur X' dont
le support ait une intersection compacte avec le saturé de toute partie
compacte. Alors f = f' O 0 a les mêmes propriétés dans X, et
f b = f'b o 0'
(les applications f + fb, f i + f'b étant relatives au choix d'une même
mesure de Haar sur H).
3) Soient B un espace localement compact, H un groupe localement
compact. Posons X = B x H, le groupe H opérant dans X par
Soient h une mesure sur B = X/H, et p une mesure de Haar à gauche
sur H. Alors A# = A @ p.
4) Soit X un espace localement compact dans lequel un groupe
localement compact H opère à droite continûment et proprement.
Soient p une mesure de Haar à gauche sur H, p une mesure >, O sur X.
Soit h une fonction continue >, O sur X telle que hb = 1. Si f est une
fonction p-négligeable 2 0 sur X, la fonction (x, E) - f(x)h(xE) est
( p €3 p)-négligeable sur X x H. (Il existe des ensembles ouverts décroissants !&, R,, . . . tels que p(R,) tende vers O et que f soit nulle hors
de a, t l R, n . . . Montrer que cpn,(x)h(xE)d y(x)dp(E) < y(a,), en
rieurement).
S *
observant que la fonction (x, t ) +
l? le produit semi-direct topologique de G et R défini par s - 4, (Top.
gén., chap. III, 3e éd., 1 2, no 10). Montrer que est unimodulaire.
6) Soient G un groupe localement compact, G,, G,, G , des sousgroupes fermés tels que G,cG1n G,. On suppose G, G,, G,, G , uni-
EXERCICES
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pour des x parcourant une partie partout dense de G. En déduire que
v(A) = 0).
Réciproquement, si v est de base p, l'application s -+ y(s)v de G
dans A * ( G ) est continue: cf. chap. VIII, 5 2, no 5, prop. 8.
1) Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe
fermé de G. Pour E E H , posons x(E) = AH(E)AG(<)-l. On considère H
comme opérant à droite sur G par translations. Montrer qu'il existe
sur S ( G ) une forme linéaire positive non nulle 1 et, à un facteur constant près, une seule, qui soit invariante par translation à gauche.
(Utiliser la prop. 3 avec X = G, en prenant pour p une mesure de
Haar à gauche de G).
2) Soient X et Xi deux espaces localement compacts dans lesquels un groupe localement compact H opére à droite, continûment
e t proprement. Soit 0 une application continue propre de X dans Xi,
compatible avec l'application identique de H (Top. gén., chap. III,
3e éd., 5 2, no 4), et soit O' : X/H -+ X'/H l'application déduite de 0
par passage aux quotients. Soit f' une fonction continue sur X' dont
le support ait une intersection compacte avec le saturé de toute partie
compacte. Alors f = f' O 0 a les mêmes propriétés dans X, et
f b = f'b o 0'
(les applications f + fb, f i + f'b étant relatives au choix d'une même
mesure de Haar sur H).
3) Soient B un espace localement compact, H un groupe localement
compact. Posons X = B x H, le groupe H opérant dans X par
Soient h une mesure sur B = X/H, et p une mesure de Haar à gauche
sur H. Alors A# = A @ p.
4) Soit X un espace localement compact dans lequel un groupe
localement compact H opère à droite continûment et proprement.
Soient p une mesure de Haar à gauche sur H, p une mesure >, O sur X.
Soit h une fonction continue >, O sur X telle que hb = 1. Si f est une
fonction p-négligeable 2 0 sur X, la fonction (x, E) - f(x)h(xE) est
( p €3 p)-négligeable sur X x H. (Il existe des ensembles ouverts décroissants !&, R,, . . . tels que p(R,) tende vers O et que f soit nulle hors
de a, t l R, n . . . Montrer que cpn,(x)h(xE)d y(x)dp(E) < y(a,), en
rieurement).
S *
observant que la fonction (x, t ) +
l? le produit semi-direct topologique de G et R défini par s - 4, (Top.
gén., chap. III, 3e éd., 1 2, no 10). Montrer que est unimodulaire.
6) Soient G un groupe localement compact, G,, G,, G , des sousgroupes fermés tels que G,cG1n G,. On suppose G, G,, G,, G , uni-