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INTÉGRATION
chap. VII, 8 2
modulaires, et Gl/G3 de mesure totale finie (pour toute mesure invariante par G,). Soient A, p, v des mesures invariantes dans G/G,, G/G,,
G,/G3, et cp l'application canonique de G sur G/Gl. Soit f E Z(G/Gl).
Montrer que
(i = xG2, 5 = 4Ga), où a est une constante indépendante de f.
8 7) a ) Soient E un espace localement compact, l? un groupe localement compact opérant à gauche continûment dans E. On suppose que,
pour tout x E E , l'application s - s . x de r dans E est propre, et qu'il
existe une mesure positive bornée non nulle p sur E invariante par r.
Alors F est compact. (Soit (s,) une suite de points de r. Soit K une partie
compacte de E non p-négligeable. Montrer, en utilisant l'exerc. 17 du
chap. IV, Q: 4, qu'il existe un xo E E tel que s,xo E K pour une infinité
de valeurs de n. En déduire que (s,) admet une valeur d'adhérence
dans l?. Appliquer alors l'exerc. 6 de Top. gén., chap. II, 3e éd., 3 4).
b) Soient G un groupe localement compact, H et K deux sousgroupes fermés de G. On suppose G et H unimodulaires et G/H de mesure
finie pour la mesure invariante par G. Montrer que, pour que H e t K
vérifient les conditions équivalentes de l'exerc. 11 c) de Top. gén.,
ehap. III, 3" éd., Q: 4, il faut et il sufit que K soit compact.
8) Soient 6 un groupe localement compact, G et H deux sous-groupes
fermés de 8. On suppose que tout s E 8 se met d'une seule maniére
sous la forme s = Ex = y7j (E, 5j E G, x, y E H), et que 5, x, y, q dépendent
continament de S. Tout 5 E G définit un homéomorphisme de H sur
H par Ex E :(X)G (z E H). Tout x E H définit un homéomorphisme 2
A
de G sur G par Ex E Hx(5) ( E E G). Soient y, a, p des mesures de Haar
à gauche de 6 , G, H. Montrer que
(Soit f E S(G). Exprimer que f(u)dp(u), calculé à l'aide de (23), soit
S
pour X = G, Y = H, soit pour X = H, Y = G, est invariant quand
on fait subir à f une translation à gauche par un élément de G ou un
élément de H).
9) Soient X un espace localement compact, H un groupe compact
opérant continûment (et par suite proprement) i i droite sur X. On
désigne par p la mesure de Haar normalisée sur H, par x : X -. X/H
l'application canonique. Soient A une mesure positive sur X/H,
la mesure correspondante sur X.
a) Montrer que si N est une partie A-nkgligeable de X/H, r l ( N )
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modulaires, et Gl/G3 de mesure totale finie (pour toute mesure invariante par G,). Soient A, p, v des mesures invariantes dans G/G,, G/G,,
G,/G3, et cp l'application canonique de G sur G/Gl. Soit f E Z(G/Gl).
Montrer que
(i = xG2, 5 = 4Ga), où a est une constante indépendante de f.
8 7) a ) Soient E un espace localement compact, l? un groupe localement compact opérant à gauche continûment dans E. On suppose que,
pour tout x E E , l'application s - s . x de r dans E est propre, et qu'il
existe une mesure positive bornée non nulle p sur E invariante par r.
Alors F est compact. (Soit (s,) une suite de points de r. Soit K une partie
compacte de E non p-négligeable. Montrer, en utilisant l'exerc. 17 du
chap. IV, Q: 4, qu'il existe un xo E E tel que s,xo E K pour une infinité
de valeurs de n. En déduire que (s,) admet une valeur d'adhérence
dans l?. Appliquer alors l'exerc. 6 de Top. gén., chap. II, 3e éd., 3 4).
b) Soient G un groupe localement compact, H et K deux sousgroupes fermés de G. On suppose G et H unimodulaires et G/H de mesure
finie pour la mesure invariante par G. Montrer que, pour que H e t K
vérifient les conditions équivalentes de l'exerc. 11 c) de Top. gén.,
ehap. III, 3" éd., Q: 4, il faut et il sufit que K soit compact.
8) Soient 6 un groupe localement compact, G et H deux sous-groupes
fermés de 8. On suppose que tout s E 8 se met d'une seule maniére
sous la forme s = Ex = y7j (E, 5j E G, x, y E H), et que 5, x, y, q dépendent
continament de S. Tout 5 E G définit un homéomorphisme de H sur
H par Ex E :(X)G (z E H). Tout x E H définit un homéomorphisme 2
A
de G sur G par Ex E Hx(5) ( E E G). Soient y, a, p des mesures de Haar
à gauche de 6 , G, H. Montrer que
(Soit f E S(G). Exprimer que f(u)dp(u), calculé à l'aide de (23), soit
S
pour X = G, Y = H, soit pour X = H, Y = G, est invariant quand
on fait subir à f une translation à gauche par un élément de G ou un
élément de H).
9) Soient X un espace localement compact, H un groupe compact
opérant continûment (et par suite proprement) i i droite sur X. On
désigne par p la mesure de Haar normalisée sur H, par x : X -. X/H
l'application canonique. Soient A une mesure positive sur X/H,
la mesure correspondante sur X.
a) Montrer que si N est une partie A-nkgligeable de X/H, r l ( N )