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EXERCICES
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est A#-négligeable. (Calculer la mesure d'un ensemble x-l(U), où U est
ouvert dans X/H).
b) Soit p un nombre fini 2.1, et soit f une fonction de 9;(X, 1%)
(F espace de Banach ou F = R). Montrer que l'ensemble des x e X
tels que 4 f(xE) ne soit pas @-intégrable dans H est de la forme x-'(N),
où N est A-négligeable. En outre, si f b est la fonction sur X/H, définie
presque partout (pour A)), telle que f(n(x)) =Sa f(xt)dp(D, fb appartient S'P(X/H, A), et l'on a N,(fb) < N,(f).
c) Inversement, si g E 8j$(X/H, A), la fonction g x appartient
à 9,5(X, A#). Si p, q sont des exposants conjugués, F' le dual de F,
f E 8&(X, hs) et g E P&(X/H, A), on a
10) Avec les notations du $ 1, no 6, soit, pour tout a E A, p , une
mesure de Haar à gauche sur Gu, de sorte que la limite projective des
y, soit une mesure de Haar y sur G. Pour tout u E A, on désigne par
A, la mesure de Haar normalisée sur Ku.
a) Soit p un nombre fini et 2 1, et soit f une fonction de 9$(G, p)
(F espace de Banach ou F - R). Pour tout a E A, la fonction
définie presque partout pour y, appartient h S'i(G, y) (exerc. 9).
Montrer que, suivant l'ensemble filtrant A, f, fend en moyenne d'ordre p
vers f (utiliser le lemme 2 du $ 1, no 6).
b) On suppose que A = N et que p = 1. Montrer alors que f,
tend presque partout (pour y) vers f dans G (utiliser une méthode
analogue à celle du chap. V, 3 8, exerc. 16).
11) Soient G un groupe localement compact, H un sous-groupe
ferme de G, A une mesure de Haar à gauche sur G ; on suppose qu'il
existe sur G/H une mesure y invariante par G telle que A = p# et
que p(G/H) < + co. Soit v une mesure positive non nulle sur G/H
telle que v(G/H) < + m. Soit enfin h une fonction sur G ayant les propriétés du no 4, prop. 8.
a) Soit A une partie borélienne de G/H. Montrer que l'on a
(utiliser la prop. 9 a) du no 4).
b) Soient A, (1 < i < n) des parties boréliennes de G/H, et pour
tout i, soit b, = sup v(s-lA,). Montrer qu'il existe deux indices i, j
séG
distincts tels que
BOURBAKI, XXIX
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