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INTÉGRATION
chap. VII, 5 2
(raisonner comme dans le 5 1, exerc. 28 a)).
7 12) a) Soient X un espace topologique, f : X -. N une fonction
semi-continue supérieurement. Soient X, l'ensemble des points de X
où f est localement constante, et Y, = X - X,. On dBfinit par r6currence
deux suites
(Y,),>, de parties de X, de la manibre suivante :
X i est l'ensemble des points de Yi-, où f /Y,-, est localement constante,
et Y, = Y,-, - X i . Montrer que Xi est une partie ouverte partout
dense de Yi-l, et que fl Y, = D . (Montrer que f(x) > i en tout point
1
de Y,).
b) Soient X un ensemble, H un groupe opérant à droite dans X,
x l'application canonique de X sur X/H, 2l (resp. 23) l'ensemble des
A C X tels que xlA : A - X/H soit injectif (resp. surjectif). Soit
(VI, V,, . . .) un recouvrement dénombrable de X par des éléments
de a. Soit
V: = vin C(V,HUV,HU.. . UV,-,HI.
i g 0
c) Soient X un espace localement compact, H un groupe discret
dénombrable opérant à droite dans X continûment et proprement,
x l'application canonique de X sur X/H, p une mesure > O sur X.
Montrer que, si les ensembles Vi de b) sont quarrables (chap. IV, $ 5,
exerc. 13 d)), l'ensemble F de b) est un domaine fondamental quarrable.
d) On conserve les hypothbses de c), et on emploie les notations
H,, n(x) du no 10. Un x E X est dit général s'il existe un voisinage V
de x dans X tel que H, = H, pour tout y E V. Montrer que les points
généraux de X sont ceux où la fonction n est localement constante.
Montrer qu'un point général admet un voisinage ouvert appartenant
à
et quarrable (utiliser le chap. IV, $ 5 , exerc. 13 d)).
e) On conserve les hypothbses de c), et on suppose de plus X
d6nombrable à l'infini. Montrer que si X - X, est y-négligeable, il
existe un domaine fondamental borélien et quarrable F. (Appliquer la
construction de a) à la fonction n. Puis appliquer les résultats de c )
et d) dans X,. Raisonner de même dans chaque Xi).
f) Soit U E 23 un ensemble ouvert. Montrer qu'on peut imposer
à l'ensemble F de e) les propriétés supplémentaires suivantes : 1) FcU ;
2) pour toute partie compacte K de X, l'ensemble des s E H tels que Fs
rencontre K est fini.
13) Soient G un groupe compact, p une mesure de Haar sur G,
u un endomorphisme de G tel que u(G) soit un sous-groupe ouvert de
G e t le noyau u-l(e) (noté Gu) un sous-groupe fini de G.
a) Montrer qu'il existe un nombre réel h(u) > O et un voisinage
ouvert U de e dans G tel que, pour tout ouvert V C U, u(V) soit ouvert
dans G et p(u(V)) = h(u)p(V) (cf. 5 1, no 7, cor. de la prop. 9).
b) Montrer que l'on a h(u) = Card(G/u(G))/Card(G,) (calculer de
deux maniéres p(u(G)) en utilisant a) et la prop. 10 du no 7).
INTÉGRATION
chap. VII, 5 2
(raisonner comme dans le 5 1, exerc. 28 a)).
7 12) a) Soient X un espace topologique, f : X -. N une fonction
semi-continue supérieurement. Soient X, l'ensemble des points de X
où f est localement constante, et Y, = X - X,. On dBfinit par r6currence
deux suites
(Y,),>, de parties de X, de la manibre suivante :
X i est l'ensemble des points de Yi-, où f /Y,-, est localement constante,
et Y, = Y,-, - X i . Montrer que Xi est une partie ouverte partout
dense de Yi-l, et que fl Y, = D . (Montrer que f(x) > i en tout point
1
de Y,).
b) Soient X un ensemble, H un groupe opérant à droite dans X,
x l'application canonique de X sur X/H, 2l (resp. 23) l'ensemble des
A C X tels que xlA : A - X/H soit injectif (resp. surjectif). Soit
(VI, V,, . . .) un recouvrement dénombrable de X par des éléments
de a. Soit
V: = vin C(V,HUV,HU.. . UV,-,HI.
i g 0
c) Soient X un espace localement compact, H un groupe discret
dénombrable opérant à droite dans X continûment et proprement,
x l'application canonique de X sur X/H, p une mesure > O sur X.
Montrer que, si les ensembles Vi de b) sont quarrables (chap. IV, $ 5,
exerc. 13 d)), l'ensemble F de b) est un domaine fondamental quarrable.
d) On conserve les hypothbses de c), et on emploie les notations
H,, n(x) du no 10. Un x E X est dit général s'il existe un voisinage V
de x dans X tel que H, = H, pour tout y E V. Montrer que les points
généraux de X sont ceux où la fonction n est localement constante.
Montrer qu'un point général admet un voisinage ouvert appartenant
à
et quarrable (utiliser le chap. IV, $ 5 , exerc. 13 d)).
e) On conserve les hypothbses de c), et on suppose de plus X
d6nombrable à l'infini. Montrer que si X - X, est y-négligeable, il
existe un domaine fondamental borélien et quarrable F. (Appliquer la
construction de a) à la fonction n. Puis appliquer les résultats de c )
et d) dans X,. Raisonner de même dans chaque Xi).
f) Soit U E 23 un ensemble ouvert. Montrer qu'on peut imposer
à l'ensemble F de e) les propriétés supplémentaires suivantes : 1) FcU ;
2) pour toute partie compacte K de X, l'ensemble des s E H tels que Fs
rencontre K est fini.
13) Soient G un groupe compact, p une mesure de Haar sur G,
u un endomorphisme de G tel que u(G) soit un sous-groupe ouvert de
G e t le noyau u-l(e) (noté Gu) un sous-groupe fini de G.
a) Montrer qu'il existe un nombre réel h(u) > O et un voisinage
ouvert U de e dans G tel que, pour tout ouvert V C U, u(V) soit ouvert
dans G et p(u(V)) = h(u)p(V) (cf. 5 1, no 7, cor. de la prop. 9).
b) Montrer que l'on a h(u) = Card(G/u(G))/Card(G,) (calculer de
deux maniéres p(u(G)) en utilisant a) et la prop. 10 du no 7).